排列组合解题中的八大典型错误、24种解题技巧和三大重要模型(类型全、归纳细、绝对精品)

第1页共35页排列与组合的八大典型错误、24种解题技巧和四大模型总论：一、知识点归纳二、常见题型分析三、排列组合解题备忘录1．分类讨论的思想2.等价转化的思想3.容斥原理与计数4.模型构造思想四、排列组合中的8大典型错误1．没有理解两个基本原理出错2.判断不出是排列还是组合出错3.重复计算出错4.遗漏计算出错5.忽视题设条件出错6.未考虑特殊情况出错7．题意的理解偏差出错87.解题策略的选择不当出错五、排列组合24种解题技巧1．排序问题相邻问题捆绑法相离问题插空排定序问题缩倍法（插空法）定位问题优先法多排问题单排法圆排问题单排法可重复的排列求幂法全错位排列问题公式法2．分组分配问题平均分堆问题去除重复法（平均分配问题）相同物品分配的隔板法全员分配问题分组法有序分配问题逐分法3．排列组合中的解题技巧至多至少间接法染色问题合并单元格法交叉问题容斥原理法构造递推数列法六．排列组合中的基本模型分组模型（分堆模型）错排模型染色问题一．知识点归纳新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆第2页共35页1．排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．奎屯王新敞新疆2．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示奎屯王新敞新疆3．排列数公式：(1)(2)(1)mnAnnnnm（,,mnNmn）4奎屯王新敞新疆阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘奎屯王新敞新疆规定0!1．5．排列数的另一个计算公式：mnA=!()!nnm奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆6奎屯王新敞新疆组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合奎屯王新敞新疆7．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．8．组合数公式：(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆9奎屯王新敞新疆组合数的性质1：mnnmnCC．规定：10nC；10．组合数的性质2：mnC1＝mnC+1mnC奎屯王新敞新疆02413512nnnnnnnCCCCCC;012nnnnnCCC11.“16字方针”是解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合，。12.“２1个技巧”是迅速解决排列组合的捷径二．基本题型讲解新疆王新敞特级教师源头学子小屋@[e-mail]源头学子小屋特级教师王新敞新疆例1分别求出符合下列要求的不同排法的种数,（1）6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；（2）6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）6人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆.解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为72066A（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有14A种选法，然后其他5人选，有55A种选法，故排法第3页共35页种数为4805514AA（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：①乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为35A；②乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有14A种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有14A种选法，其余两棒次不受限制，故有221414AAA种排法，由分类计数原理，共有25224141435AAAA种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他4人一起作全排列共有2405522AA种排法（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的4人的左、右及之间的空挡插位，共有2544AA（或用6人的排列数减去问题（2）后排列数为48024066A）（6）三人的顺序定，实质是从6个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余3人在3个位置上全排列，故有排法1203336AC种点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻与不相邻新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例2假设在100件产品中有3件是次品，从中任意抽取5件，求下列抽取方法各多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（1）没有次品的抽法就是从97件正品中抽取5件的抽法，共有64446024597C种（2）恰有2件是次品的抽法就是从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽2件的抽法，共有44232023397CC种（3）至少有2件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从97件正品中抽取3件，并从3件次品中抽取2件，有32973CC种新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆第二类从97件正品中抽取2件，并将3件次品全部抽取，有23973CC种新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆按分类计数原理有4469763329723397CCCC种新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从3件次品抽取2件（以保证至少有2件是次品），再从余下的98件产品中任意抽取3件的抽法，那么所得结果是46628839823CC种，其结论是错误的，错在“重复”：假设3件次品是A、B、C，第一步先抽A、B第二步再抽C和其余2件正品，与第一步先抽A、C（或B、C），第二步再抽B（或A）和其余2件正品是同一种抽法，但在算式39823CC中算作3种不同抽法新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例3求证：①mnmnmnAmAA111；②12112mnmnmnmnCCCC证明：①利用排列数公式第4页共35页左1!1!1!!nmnnmnm1!1!!nmnmnnmmnAmnn!!右另一种证法：（利用排列的定义理解）从n个元素中取m个元素排列可以分成两类：①第一类不含某特殊元素a的排列有mnA1第二类含元素a的排列则先从1n个元素中取出1m个元素排列有11mnA种，然后将a插入，共有m个空档，故有11mnAm种，因此mnmnmnAAmA111②利用组合数公式左!!2!11!1!1!mnmnmnmnmnmn11211!1!1!mnmmmmnmnmnmn＝12!1!1!212!1!1!mnCmnmnnnmnmn右另法：利用公式111mnmnmnCCC推得左1211111mnnnmnmnmnmnmnCCCCCCC右点评：证明排列、组合恒等式通常利用排列数、组合数公式及组合数基本性质新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例4已知f是集合dcbaA,,,到集合2,1,0B的映射（1）不同的映射f有多少个？（2）若要求4dfcfbfaf则不同的映射f有多少个？分析：（1）确定一个映射f，需要确定dcba,,,的像（2）dcba,,,的象元之和为4，则加数可能出现多种情况，即4有多种分析方案，各方案独立且并列需要分类计算新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆解：（1）A中每个元都可选0,1,2三者之一为像，由分步计数原理，共有433333个不同映射新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）根据dcba,,,对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第5页共35页第一类：没有元素的像为2，其和又为4，必然其像均为1，这样的映射只有一个；第二类：一个元素的像是2，其余三个元素的像必为0,1,1，这样的映射有121314PC个；第三类：二个元素的像是2，另两个元素的像必为0，这样的映射有624C个新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆由分类计数原理共有1+12+6=19（个）新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆点评：问题（1）可套用投信模型：n封不同的信投入m个不同的信箱，有nm种方法；问题（2）的关键结合映射概念恰当确定分类标准，做到不重、不漏新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆例5四