控制系统的传递函数

第三节控制系统的传递函数第三节控制系统的传递函数一、传递函数的概念二、传递函数的性质三、典型环节及其传递函数引言控制系统的微分方程：是在时域描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用及初始条件下，求解微分方程可以得到系统的输出响应。但系统中某个参数变化或者结构形式改变，便需要重新列写并求解微分方程。传递函数：对线性常微分方程进行拉氏变换，得到的系统在复数域的数学模型为传递函数。传递函数不仅可以表征系统的动态特性，而且可以研究系统的结构或参数变化对系统性能的影响。传递函数是经典控制理论中最基本也是最重要的概念一、传递函数的概念图2-14所示的RC电路中电容的端电压uc(t)。根据克希霍夫定律，可列写如下微分方程：()()()critRutut(2.60)1()()dcutittC(2.61)消去中间变量i(t)，得到输入ur(t)与输出uc(t)之间的线性定常微分方程:d()()()dccrutRCututt(2.62)图2-14RC电路现在对上述微分方程两端进行拉氏变换，并考虑电容上的初始电压uc(0)，得:(2.63)()()()()cccrRCsUsRCuUsUs0式中Uc(s)——输出电uc(t)的拉氏变换；Ur(s)——输入电压ur(t)的拉氏变换。1()()()11crcRCUsUsuRCsRCs0当输入为阶跃电压ur(t)=u0·1(t)时，对Uc(s)求拉氏反变换，即得uc(t)的变化规律:由上式求出Uc(s)的表达式:(2.64)0()(1)()ttRCRCccutueue0(2.65)式中第一项称为零状态响应，由ur(t)决定的分量；第二项称为零输入响应，由初始电压uc(0)决定的分量。图2-15表示各分量的变化曲线，电容电压uc(t)即为两者的合成。图2-15RC网络的阶跃响应曲线在式(2.65)中，如果把初始电压uc(0)也视为一个输入作用，则根据线性系统的叠加原理，可以分别研究在输入电压ur(t)和初始电压uc(0)作用时，电路的输出响应。若uc(0)=0，则有:1()()1crUsUsRCs(2.66)当输入电压ur(t)一定时，电路输出响应的拉氏变换Uc(s)完全由1/(RCs+1)所确定，式(2.66)亦可写为:()1()1crUsUsRCs(2.67)当初始电压为零时，电路输出响应的象函数与输入电压的象函数之比，是一个只与电路结构及参数有关的函数。用式(2.67)来表征电路本身特性，称做传递函数，记为：1()1GsTs式中T=RC。显然，传递函数G(s)确立了电路输入电压与输出电压之间的关系。图2-16传递函数传递函数可用图2-16表示。该图表明了电路中电压的传递关系，即输入电压Ur(s)，经过G(s)的传递，得到输出电压Uc(s)=G(s)Ur(s)。对传递函数作如下定义：线性（或线性化）定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。若线性定常系统由下述n阶微分方程描述：1110111101ddd()()()()dddddd()()()()dddnnnnnnmmmmmmactactactacttttbrtbrtbrtbrtttt(2.68)式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，a0，a1，…an，b0，b1，…，bm是与系统结构参数有关的常系数。令C(s)=L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，在初始条件为零时，对式(2.68)进行拉氏变换，可得到s的代数方程：[ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0]C(s)=[bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0]R(s)由传递函数的定义，由式(2.68)描述的线性定常系统的传递函数：11101110()()()()()mmmmnnnnbsbsbsbCsMsGsRsasasasaDs式中M(s)=bmsm+bm-1sm-1+…+b1s+b0为传递函数的分子多项式；D(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0为传递函数的分母多项式。(2.69)传递函数是在初始条件为零（或称零初始条件）时定义的。控制系统的零初始条件有两方面的含义，一系统输入量及其各阶导数在t=0时的值均为零；二系统输出量及其各阶导数在t=0时的值也为零。二、传递函数的性质从线性定常系统传递函数的定义式(2.69)可知，传递函数具有以下性质：1.传递函数是复变量s的有理真分式函数，分子的阶数m低于或等于分母的阶数n（m≤n），且所有系数均为实数。2.传递函数只取决于系统和元件的结构和参数，与外作用及初始条件无关。)())(()())(()()()(2121nmpspspszszszsksRsCsG(2.70)1212()()()()()()()()()mnszszszCsGskRsspspsp(2.70)3.传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。将式(2.69)中分子多项式及分母多项式因式分解后，写为如下形式：式中k为常数，-z1,…,-zm为传递函数分子多项式方程的m个根，称为传递函数的零点；-p1,…,-pn为分母多项式方程的n个根，称为传递函数的极点。一般zi,pi可为实数，也可为复数，且若为复数，必共轭成对出现。将零、极点标在复平面上，则得传递函数的零极点分布图，如图2-17所示。图中零点用“”表示，极点用“*”表示。图2-17G(s)=()()ssss22322零极点分布图4.若取式(2.69)中s=0，则：常称为传递系数（或静态放大系数）。从微分方程式(2.68)看，s=0相当于所有导数项为零，方程蜕变为静态方程00(0)bGa00acbr00bcra或b0/a0恰为输出输入时静态比值。5.传递函数无法全面反映信号传递通路中的中间变量。多输入多输出系统各变量间的关系要用传递函数阵表示。三、典型环节及其传递函数控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种基本环节，也就是典型环节。（一）比例环节比例环节的传递函数为：G(s)=K(2.71)输出量与输入量成正比，比例环节又称为无惯性环节或放大环节。图2-18比例环节图2-18(a)所示为一电位器，输入量和输出量关系如图2-18(b)所示。（二）惯性环节传递函数为如下形式的环节为惯性环节：()1KGsTs(2.72)当环节的输入量为单位阶跃函数时，环节的输出量将按指数曲线上升，具有惯性，如图2-19(a)所示。式中K——环节的比例系数；T——环节的时间常数。图2-19惯性环节（三）积分环节它的传递函数为:1()GsTs(2.73)当积分环节的输入为单位阶跃函数时，则输出为t/T，它随着时间直线增长。T称为积分时间常数。T很大时惯性环节的作用就近似一个积分环节。图2-20(b)为积分调节器。积分时间常数为RC。图2-20积分环节（四）微分环节理想微分环节传递函数为:G(s)=Ts(2.74)输入是单位阶跃函数1(t)时，理想微分环节的输出为c(t)=Td(t)，是个脉冲函数。在实际系统中，微分环节常带有惯性，它的传递函数为：理想微分环节的实例示于图2-21(a)、(b)。(a)为测速发电机。图中(b)为微分运算放大器。12()1TsGsTs(2.75)它由理想微分环节和惯性环节组成，如图2-21(c)、(d)所示。在低频时近似为理想微分环节，否则就有式(2.75)的传递函数。图2-21微分环节（五）振荡环节振荡环节的传递函数为：222221()212nnnGsTsTsss(2.76)式中n无阻尼自然振荡频率，n=1/T；——阻尼比，0＜＜1。图2-22所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。图2-22振荡环节的单位阶跃响应曲线（六）延滞环节延滞环节是线性环节，t称为延滞时间（又称死时）。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。如图2-23所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间t后才出现阶跃信号，在0＜1＜t内，输出为零。图2-23延滞环节延滞环节的传递函数可求之如下：()00()()d()d()stssCsrtetreeRstttc(t)=r(t－t)其拉氏变换为:式中=tt，所以延滞环节的传递函数为:系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。()sGset(2.77)