电子科技大学 随机过程 覃思义 第四章sjgc4.4

电子科技大学§4.4随机过程的均方导数一、均方导数概念定义4.4.1{X(t),t∈T}是二阶矩过程,对于确定的t∈T,若存在Y∈H,使得YttXttXt)()(i.m.l0称X(t)在t处均方可微(可导)，称Y为X(t)在t处的均方导数,记为).()(tXdttdX或电子科技大学).()(tXdttdX或若对t∈T,X(t)都均方可微,称为均方可微过程.}),({TttX可证明均方导数过程}),({TttX},),({TttX仍是二阶矩过程.其余各高阶导数依此余推.可定义其均方导数过程.),(),(),()(TttXtXtXn电子科技大学EX.1试求随机过程BAttX)(的均方导数,其中A、B是相互独立的随机变量.解ttXttXtXt)()(i.m.l)(0AAtBAtBttAtt00i.m.l)()(i.m.l而02)()(2AAEAttXttXE电子科技大学为将随机过程的均方导数研究问题转移到实数域进行讨论分析,引进广义二阶导数概念：在一般情况下,直接判断随机过程的可微性并求出导数过程是极其困难的.定义4.4.2称二元函数f(s,t)在(s,t)处广义二阶可微,若极限sttsfttsftssfttssfts),(),(),(),(lim00存在,称此极限为f(s,t)在(s,t)处的广义二阶导数.电子科技大学广义二阶导数是二重极限,而二阶混合偏导是二次极限,一般情况下二者不相等.注参见P76引理4.4.1若二元函数f(s,t)关于s,t的一阶偏导存在,二阶混合偏导存在并连续,则f(s,t)一定是广义二阶可微的.且广义二阶导数为),(),(tsftsftsst二、均方可微准则电子科技大学二阶矩过程{X(t),t∈T}在t0∈T处均方可微的充要条件是其相关函数R(s,t)在(t0,t0)处广义二阶可微.定理4.4.1(均方可微准则)证由均方收敛定义及收敛准则可知,{X(t),t∈T}在t0处均方可微存在ttXttXt)()(i.m.l000电子科技大学存在stXstXttXttXEst)()()()(lim000000)],(),(),(),([1lim0000000000ttRsttRtttRstttRstst存在,即，R(s,t)在(t0,t0)处广义二阶可微.洛易夫准则电子科技大学EX.3参数为σ2的Wiener过程{W(t),t≥0}在t=t0否是均方可微的?解),,min(),(2tstsRW因20000000(,)(,)[min(,)]WWRtttRtttttt20,0;,0.ttt0000(,)lim0,stRttt电子科技大学22000(,)lim.sttRttt00(,)sRtt不存在，因此{W(t),t≥0}不是均方可微的.注可通过引进Dirac-δ函数,定义Wiener过程的导数过程(参见P78).电子科技大学推论4.4.1二阶矩过程{X(t),t∈T}的相关函数R(s,t)在T×T的对角线上广义二阶可微,而且的均值函数为导数过程}),({)1(TttX)()]([)]([)(tmtXEdtdtXEtmXX的自相关函数为导数过程}),({)2(TttX.),(),,(),,(),,(上均存在在则TTtsRtsRtsRtsRtsstts),(),(])()([),(tsRtsRtXsXEtsRtsstX电子科技大学),(])()([),(tsRtXsXEtsRsXX),(])()([),(tsRtXsXEtsRtXX互相关函数为的与导数过程}),({}),({)3(TttXTttX证)]([)()1(tXEtmXttXttXEt)()(i.m.l0])()([lim0ttXttXEt电子科技大学)(])()([lim0tmttmttmxXXt])()([),()3(tXsXEtsRXX])()()([0tXssXssXmilEsstXsXtXssXEs])()()()([lim0),(),(),(lim'0tsRstsRtssRss电子科技大学])()([),()2(tXsXEtsRX)]()()(i.m.l[0tXssXssXEsstXsXtXssXEs])()()()([lim0stsRtssRtts),(),(lim0),(tsRts由(3)可得电子科技大学EX.2设随机变量ξ满足E(ξ)=0,D(ξ)=σ2,令X(t)=ξt,t∈T证{X(t),t∈R}是二阶矩过程,E[X(t)]=0,D[X(t)]=t2σ2,])()([),(tXsXEtsRX其广义二阶导数为证明{X(t),t∈T}是均方可微过程.2)(][ststEtsE电子科技大学001lim[(,)(,)(,)(,)]XXstXXRssttRsststRsttRst2lim00][()()()()ststssttsststtst2故{X(t),t∈T}是一个均方可微过程.电子科技大学均方可导必均方连续,{X(t),t∈T}在t处均方可微,则X(t)在t处均方连续.故证,)(HtX性质4.4.1])()([lim20tXttXEt2220()()lim()[()]00tXttXtEtEXtt注性质的逆不真.三、均方导数基本性质电子科技大学EX.4设{W(t),t≥0}是参数为σ2的维纳过程,讨论随机过程X(t)=W2(t),t≥0是否均方可微？解自相关函数为)),(min2(),(24tssttsR0(,)(,)(,)limstRtttRttRttt42240[()23]lim,tttttttt电子科技大学0(,)(,)(,)limstRtttRttRttt52240[()2()3]lim5,ttttttttt,),(不存在所以ttRs),,(),(ttRttRss不是广义二阶可导的，),(tsRX(t)=W2(t),t≥0不是均方可微的.电子科技大学性质4.4.2均方导数在概率为1的意义下惟一.，若)()(),()(21tYtXtYtX证由均方极限的惟一性可得.).()()(21eatYtY则电子科技大学性质4.4.3均方导数具有线性性X(t),Y(t)均方可微,则{aX(t)+bY(t),t∈T},a,b∈C,也均方可微,且[()()]()()aXtbYtaXtbYtttbYtaXttbYttaXtbYaX)()()()()(证记)()(][tYbtXadtbYaXd电子科技大学dtbYaXdtbYaX)()(则)]()([)(tYbtXatbYaX)(')]([tXttXttXa）（,0)(')]()([tYttYttYb.0tas电子科技大学设f(t)是定义在T上的普通可微函数,{X(t),t∈T}是均方可微过程,则{f(t)X(t),t∈T}也是可微过程,有性质4.4.4)()()()(])()([tXtftXtftXtf设{X(t),t∈T}是均方可微过程,且X'(t)=0,则X(t)是一个常随机变量(即与指标t无关的随机变量).性质4.4.5电子科技大学等价于具有相等均方导数的两个随机过程，它们最多仅相差一个随机变量，即)(])([tXXtX