线性规划例题集锦

(1)若z=2x+y,求z的最值.≤≥例.已知、满足≤43,13525.1.xyxyxyx551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABCmaxZ25212,minZ2113.解：画出可行域如图：画出直线2x+y=0并平移得点A使Z最大，点B使Z最小。2x+y=0由求出A为（5,2)。02553034yxyx由求出B为（1，1)。0341yxx551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC(2)若z=2x-y,求z的最值.解：画出可行域如图：画直线2x-y=0并平移得点A使Z最大，点C使Z最小。由可得C为（1,4.4）025531yxx由可得A为（5,2）02553034yxyx8252maxz4.24.412minz≤≥例.已知、满足≤43,13525.1.xyxyxyx(3)若z=x2+y2,求z的最值.551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABCmin2,zmax29.z解：画出可行域如图：表示可行域内的点（x,y)到原点的距离的平方，22yxz由求出A为（5,2)。02553034yxyx由求出B为（1，1)。0341yxx由图可得点A使Z最大，点B使Z最小。≤≥例.已知、满足≤43,13525.1.xyxyxyx551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC解：画出可行域如图：由求出A为（5,2)。02553034yxyx由图可得点C使Z最大，点A使Z最小。(4)若求z的最值.,yzx表示可行域内的点（x,y)与原点连线的斜率，,yzx由可得C为（1,4.4）025531yxxmax20.4.5OAzkmax4.44.4,1OCzk≤≥例.已知、满足≤43,13525.1.xyxyxyx(5)求可行域的面积和整点个数.551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC1||2SBCh13.446.8.24221110解：画出可行域如图：求A出为（5,2），B为(1，1)，C为(1,4.4）。[例1]某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，应如何配制盒饭，才既科学又使费用最少？解析：这是一个最优化问题，应先设出目标变量和关键变量并建立目标函数，然后根据目标函数的类型，选择合适的方法求最值。目标函数往往是一元二次函数或分式函数或三角函数或二元函数。如是一元二次函数一般用配方法求最值，如是三角函数一般用化一角一函数的方法求最值，如是分式函数一般用基本不等式法求最值，如是二元函数一般用线性规划法求最值，有时也可用基本不等式法求最值。．解：设每份盒饭中面食为x百克，米食为y百克，费用z元。目标函数为：z＝0.5x＋0.4y线性约束条件为：0,01074836yxyxyx画出可行域如图：画出直线0.5x+0.4y=0并平移得点A使Z最小。0.5x+0.4y=0A求出点A为1514,1513所以每份盒饭中有面食百克，米食为百克，费用最省。15131514[例2]某工厂生产甲、乙两种产品，每生产1t产品需要的电力、煤、劳动力及产值．如下表所示：品种电力(千度)煤(吨)劳动力(人)产值(千元)甲4357乙6639该厂的劳动力满员150人，根据限额每天用电不超过180千度，用煤每天不得超过150t，问每天生产这两种产品各多少时，才能创造最大的经济效益？解：设每天生产甲产品x吨，乙产品y吨，可得产值z千元。目标函数为：z＝7x＋9y线性约束条件为：150351506318064yxyxyx画出可行域如图：画出直线7x+9y=0并平移得点P使Z最小。求出点P为)7100,7150(所以每天生产甲产品吨，乙产品吨时，效益最大。71507100Q已知满足不等式yx,,3006xyxyx求：(1).xyz3的范围;(2).12xyz的范围.解:(1)表示可行域内任一点与定点Q（0,-3）连线的斜率,xyz3因为,0,2QBQAkk所以z的范围为.),0[]2,(例4关闭程序返回首页BCA6y4xO62242420yx06yx3x(2).表示可行域内任一点与定点12xyz因为,21,25RBRAkkR（-1,-2）连线的斜率,R所以z的范围为.),21[]25,(点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的斜率.关闭程序返回首页BCA6y4xO62242420yx06yx3xN求：(1).最大值和最小值;(2).222yxxz最大值和最小值;22yxz22yxz解:(1)表示可行域内任一点),(yx到原点)0,0(O的距离的平方.过O向直线ACBC、作垂线,垂足非别为.A、N易知,)9,3(C到O距离最大,此时,909322maxz.00022minz例3已知满足不等式yx,,3006xyxyx关闭程序返回首页BCA6y4xO62242420yx06yx3xP3.(2).解:1)1(22222yxyxxz表示可行域内任一点到定点)0,1(M距离的平方再减去1.过M作直线AB的垂线,垂足是P由直角三角形直角边与斜边关系,容易判断出z的最小值是,21||MPz的最大值为.96||MC点评：此类问题转化为可行域内的点到定点的距离.关闭程序返回首页MBCA6y4xO62242420yx06yx3x•[变式训练1]某人需要补充维生素，现有甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是1mg,1mg,4mg,4mg,5mg；乙种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3mg,2mg,1mg,3mg,2mg.若此人每天摄入维生素A至多19mg，维生素C至多13mg，维生素D至多24mg，维生素E至少12mg，那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满足维生素的需要量，并能获得最大量的维生素Z?解析：设该人每天服用甲种胶囊x粒，乙种胶囊y粒，得到维生素Zzmg，由题意得x＋3y≤19，x＋2y≤13，4x＋y≤24，4x＋3y≥12，x≥0，y≥0，目标函数为z＝5x＋2y.•作出不等式组表示的平面区域如图所示，•作出5x＋2y＝0.•把直线向右上方平移，直线经过可行域上的点M时，z＝5x＋2y取得最大值．解方程组x＋2y＝13，4x＋y＝24.得M点坐标为(5,4)，此时z＝5×5＋2×4＝33(mg)．故每天应服5粒甲种胶囊，4粒乙种胶囊才能满足维生素需要量，且能得到最大量的维生素Z.【6】已知x,y满足0,1,1.xyxyy≥≤≥若取得最小值的点有无穷多个，则m=.)0(mmyxz-11zyxmm(2,1)(1,1)11(,)22111mm【6】已知x,y满足0,1,1.xyxyy≥≤≥若取得最大值的点有无穷多个，则m=.zxmy11zyxmm0m①时,11m1m0m②时,【1】已知点A(0,0),B(1,2),C(5,1),D(2,-1),其中在不等式组所表示的平面区域0,0,4312xyxy内的点是().【2】满足|x|+|y|≤4的整点的个数是______.xyo4341xo44-4-49+2(7+5+3+1)=41练习：求二元一次不等式组所表示的平面区域的面积例5、x-y+5≥0y≥20≤x≤22xoy-55DCBAx-y+5=0x=2y=22如图，平面区域为直角梯形,易得A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)所以AD=3,AB=2,BC=5故所求区域的面积为S=解析：825321若二元一次不等式组所表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围变式：x-y+5≥0y≥a0≤x≤2(1)求z=x+y的最值。已知：x,y满足2)3()3(22yx(2)求z=的最值。22yx(3)求z=的最值。xy(1)若z=2x+y,求z的最值.≤≥例.已知、满足≤43,13525.1.xyxyxyx551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABC551xyO551xyOx=1x-4y+3=03x+5y-25=0ABCmaxZ25212,minZ2113.解：画出可行域如图：画出直线2x+y=0并平移得点A使Z最大，点B使Z最小。2x+y=0由求出A为（5,2)。02553034yxyx由求出B为（1，1)。0341yxx(1)求z=x+y的最值。已知：x,y满足2)3()3(22yx0xy解：画出可行域如图：AB画出直线：x+y=0并平移得点A使Z最大，点B使Z最小。ll1l2l设圆P与平行的切线为x+y+t=02233t由得t=4或t=8所以为x+y-4=0,为x+y-8=01l2l由求出A为（2,2)。2)3()3(0422yxyx由求出B为（4,4)。2)3()3(0822yxyxminz2+2=4maxz4+4=8P解：画出可行域如图：表示可行域内的点（x,y)到原点的距离的平方，22yxz由图可得点A使Z最大，点B使Z最小。已知：x,y满足2)3()3(22yx(2)求z=的最值。22yx0xyABPminzmaxz22)2(POPB222)233(=822)2(POPA222)233(32解：画出可行域如图：已知：x,y满足2)3()3(22yx0xyABP(3)求z=的最值。xy表示可行域内的点（x,y)与原点连线的斜率，,yzx由图可得点A使Z最大，点B使Z最小。maxzoAkminzOBk设圆过原点的切线为y=kx即kx-y=o由可得21332kk724972497249k=k=或7249minzmaxz1.满足|x|+|y|≤4的整点的个数是____.2.不等式|x|+|y|≤4所表示的平面区域的面积＿。