线性规划常见题型及解法(上课)

1线性规划常见题型及解法温故1．不在3x+2y6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知点（3，1）和点（－4，6）在直线3x–2y+m=0的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24B．－7＜m＜24C．m＝－7或m＝24D．－7≤m≤243．在△ABC中，三顶点坐标为A（2，4），B（－1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x–y的最大值和最小值分别是（）A．3，1B．－1，－3C．1，－3D．3，－14．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（）5．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A．232600yxyxB．232600yxyxC．232600yxyxD．232600yxyx2由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。一、求线性目标函数的取值范围例1、若x、y满足约束条件222xyxy，则z=x+2y的取值范围是（）A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]解：如图，作出可行域，作直线l：x+2y＝0，将l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选AxyO22x=2y=2x+y=2BA3二、求可行域的面积例2、不等式组260302xyxyy表示的平面区域的面积为（）A、4B、1C、5D、无穷大解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B三、求可行域中整点个数例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）A、9个B、10个C、13个D、14个解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0)2(0,0)xyxyxyxyxyxyxyxy作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选DxyO2x+y–6=0=5x＋y–3=0OyxABCMy=24四、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例4、已知x、y满足以下约束条件5503xyxyx，使z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为（）A、－3B、3C、－1D、1解：如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数z=x+ay(a0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D练习．已知实数yx,满足0,1,2210.xyxy若目标函数yaxz0a取得最小值时最优解有无数个，则实数a的值为A．1B．12C．12D．1例5已知变量x，y满足约束条件1422xyxy。x+y=5x–y+5=0Oyxx=35若目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值范围为。解析：如图5作出可行域，由zaxyyaxz其表示为斜率为a，纵截距为ｚ的平行直线系,要使目标函数zaxy（其中0a）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线yaxz过Ａ点且在直线4,3xyx（不含界线）之间。即11.aa则a的取值范围为(1,)。点评：本题通过作出可行域，在挖掘az与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。五、条件含参数形式，求目标函数最值范围。例3、在约束条件0024xyyxsyx下，当35s时，目标函数32zxy的最大值的变化范围是（）A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8]解析：画出可行域如图3所示,当34s时,目标函数32zxy在(4,24)Bss处取得最大值,即max3(4)2(24)4[7,8)zsss;当45s时,目标函数32zxy在点(0,4)E处取得最大值,即max30248z,故[7,8]z,从而选D;6点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键。六、求非线性目标函数的最值（1）当目标函数形如z=x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方例5、已知x、y满足以下约束条件220240330xyxyxy，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是（）A、13，1B、13，2C、13，45D、13，255解：如图，作出可行域,x2+y2是点（x，y）到原点的距离的平方，故最大值为点A（2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x＋y－2=0的距离的平方，即为45，选C例2、已知1,10,220xxyxy则22xy的最小值是.解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22xy表示可行域内一点到原点的距离的平方。2x+y-2=0=5x–2y+4=03x–y–3=0OyxA图27由图易知A（1，2）是满足条件的最优解。22xy的最小值是为5。点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。（2）当目标函数形如yazxb时,可把z看作是动点(,)Pxy与定点(,)Qba连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ连线斜率的最值。例已知变量x，y满足约束条件x－y＋2≤0，x≥1，x＋y－7≤0，则yx的取值范围是（）.（A）[95，6]（B）（－∞，95]∪[6，＋∞）（C）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D）[3，6]解析yx是可行域内的点M（x，y）与原点O（0，0）连线的斜率，当直线OM过点（52，92）时，yx取得最小值95；当直线OM过点（1，6）时，yx取得最大值6.答案A六、求约束条件中参数的取值范围例6、已知|2x－y＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m的取值范围是（）A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2x－y＋m|＜3等价于230230xymxym由右图可知3330mm,故0＜m＜3，选CO2x–y=0y2x–y+3=08课后作业1．不等式3yx表示的平面区域内的整点个数为（）A．13个B．10个C．14个D．17个2已知x，y满足约束条件3005xyxyx，则yxz4的最小值为______________．9)3,5(A)1,1(B)522,1(Coxy3已知x，y满足0320,1052yxyxyx，则xy的最大值为___________，最小值为____________．4．已知平面区域如右图所示，)0(mymxz在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为（）A．207B．207C．21D．不存在5．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有______________种.（选做）．有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？方式种类轮船飞机小麦300吨150吨大米250吨100吨10高中学生学科素质训练—线性规划一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．不在3x+2y6表示的平面区域内的一个点是（）A．（0，0）B．（1，1）C．（0，2）D．（2，0）2．已知点（3，1）和点（－4，6）在直线3x–2y+m=0的两侧，则（）A．m＜－7或m＞24B．－7＜m＜24C．m＝－7或m＝24D．－7≤m≤243．若2,22yxyx，则目标函数z=x+2y的取值范围是（）A．[2，6]B．[2，5]C．[3，6]D．[3，5]4．不等式300))(5(xyxyx表示的平面区域是一个（）A．三角形B．直角三角形C．梯形D．矩形5．在△ABC中，三顶点坐标为A（2，4），B（－1，2），C（1，0），点P（x，y）在△ABC内部及边界运动，则z=x–y的最大值和最小值分别是（）A．3，1B．－1，－3C．1，－3D．3，－16．在直角坐标系中，满足不等式x２－y2≥0的点（x，y）的集合（用阴影部分来表示）的是（）ABCD7．不等式3yx表示的平面区域内的整点个数为（）A．13个B．10个C．14个D．17个8．不等式3|2|myx表示的平面区域包含点)0,0(和点),1,1(则m的取值范围是11)3,5(A)1,1(B)522,1(Coxy（）A．32mB．60mC．63mD．30m9．已知平面区域如右图所示，)0(mymxz在平面区域内取得最大值的最优解有无数多个，则m的值为（）A．207B．207C．21D．不存在10．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（）A．232600yxyxB．232600yxyxC．232600yxyxD．232600yxyx二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）11．已知x，y满足约束条件3005xyxyx，则yxz4的最小值为______________．12．已知约束条件2828,xyxyxNyN，目标函数z=3x+y，某学生求得x=38，y=38时，zmax=323，这显然不合要求，正确答案应为x=;y=;zmax=.13．某电脑用户计划用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有______________种.14．已知x，y满足0320,1052yxyxyx，则xy的最大值为___________，最小值为____________．三、解答题（本大题共6题，共76分）15．由12xyxy及围成的几何图形的面积是多少?（12分）16．已知),2,0(a当a为何值时，直线422:422:2221ayaxlayaxl与及坐标轴围成的平面区域的面积最小？（12分）12（－2，2）（2，2）y=xy=x+1（－1,2）（1，2）y=－xy=－x+1xyOCBDE1l`17．有两种农作物（大米和小麦），可用轮船和飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机运输效果如下:在一天内如何安排才能合理完成运输2000吨小麦和1500吨大米的任务？（12分）18．设422xyz，式中变量yx,满足条件122010xyyx，求z的最小值和最大值．（12分）参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）题号12345678910答案DBACCBAAAC二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．5.1212．3，2，1113．714．2，0三、解答题（本大题共6题，共76分）15．（12分）[解析]：如下图由12xyxy及围成的几何图形就是其阴影部分，且312212421S.方式种类轮船飞机小麦300吨150吨大米250吨100吨13AxyOC-112y`B（1,1)2012yx`16．（12分）[解析]：如图),2,