2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市实验中学高一上期中考试数学试题(解析版)

第1页共16页2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市实验中学高一上期中考试数学试题一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则=A．{1}B．{3，5}C．{1，2，4，6}D．{1，2，3，4，5}【答案】C【解析】试题分析：根据补集的运算得．故选C.【考点】补集的运算.【易错点睛】解本题时要看清楚是求“”还是求“”，否则很容易出现错误；一定要注意集合中元素的互异性，防止出现错误．2．下列不等式正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】试题分析：A.若c0，则不等号改变，若c=0，两式相等，故A错误；B.若，则，故，故B正确；C.若b=0，则表达是不成立故C错误；D.c=0时错误.【考点】不等式的性质.3．已知关于的不等式的解集是，则的值是（）A．﹣11B．11C．﹣1D．1【答案】C【解析】分析：不等式的解集转化为方程的根，由韦达定理求出的值，求和即可得结果.详解：因为关于的不等式的解集是，所以是方程的根，第2页共16页由韦达定理可得，故，故选C.点睛：本题主要考查一元二次方程不等式的解集与一元二次方程根之间的关系，考查韦达定理的应用，意在考查灵活运用所学知识解决问题的能力.4．函数的定义域为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意解得.故选A.5．函数的值域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵2x0,故0≤4-2x4,∴函数值域为[0,2).6．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时，表达式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则，利用给出的解析式求出，再由奇函数的定义即，求出.【详解】设，则，当时，，，函数是定义在上的奇函数，第3页共16页，，故选D.【点睛】本题考查了函数奇偶性在求解析式的应用，属于中档题.本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为．7．函数的图象恒过定点，在幂函数的图象上，则（）A．B．C．3D．9【答案】A【解析】由对数函数的几何性质求出点的坐标，代入求函数解柝式，再将代入即可.【详解】由题意，令，即，则，即点，由在幂函数的图象上可得，，则，则，则，故选A.【点睛】本题考查了对数函数与幂函数的性质应用，属于基础题.函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.第4页共16页8．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，函数，由函数的单调性，排除；当时，函数，此时，代入特殊值验证，排除，只有正确.【详解】当时，函数，由函数在上递减，可得在上递减，排除；当时，函数，此时，而选项的最小值为2，故可排除，只有正确，故选B.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.第5页共16页9．已知函数定义域是，则的定义域是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数y=f(x)定义域是[−2,3]，∴由−2⩽2x−1⩽3，解得−⩽x⩽2，即函数的定义域为，本题选择C选项.10．设，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，，得解。【详解】，，，所以，故选D【点睛】比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法。11．设是上的奇函数，且在区间上递减，，则的解集是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，函数f（x）是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，则函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（-2）=-f（2）=0，第6页共16页当x＞0时，若f（x）＞0，必有0＜x＜2，当x＜0时，若f（x）＞0，必有x＜-2，即f（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）；故答案选：C．点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集。12．已知是上的增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由在上单调递增可得；由在上单调递增可得，结合，可得实数的取值范围.【详解】是上的增函数，当时，在上单调递增，；当时，在上单调递增得，即；又当时，；当时，，，即，综合可得，故选A.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题.分段函数的单调性是分段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使分界点处两函数的单调性与整体保持一致.第7页共16页二、填空题13．函数的值域是_____．【答案】【解析】因为函数在区间上都是单调递增函数，所以函数在区间上也是单调递增函数，，即函数的值域是，应填答案。14．函数的单调递减区间是_____．【答案】【解析】先求函数的定义域，然后在定义域内求函数的增区间，就是函数的单调递减区间.【详解】即或，函数的定义域为，在定义域内函数的增区间是，因为递减，在上递增，函数的单调递减区间为，故答案为.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.15．对于下列结论：第8页共16页①函数的图象可以由函数（且）的图象平移得到；②函数与函数的图象关于轴对称；③方程的解集为；④函数为奇函数．其中正确的结论是_____（把你认为正确结论的序号都填上）．【答案】①④【解析】试题分析：根据函数的图象变换，可得的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，所以①是正确的；函数函数与函数的图象关于轴对称，所以②是不正确的；方程，及，解得，所以③是不正确的；由，可知④是正确的，故选①④．【考点】函数的性质及其应用．【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数的图象变换、指数函数与对数函数的关系、对数函数的性质和函数的奇偶性等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及灵活应用知识的能力，其中熟记函数的图象变换和基本初等函数的性质是解答此类问题的关键，试题比较基础，属于基础题．16．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，设，，则，的大小关系为_____．【答案】【解析】由为偶函数，及函数的图象的平移法则可知的图象关于对称，由函数在上为减函数及可比较的大小.【详解】函数为偶函数，图象关于对称，又由向左平移5个单位可得函数的图象，的图象关于对称，第9页共16页函数在上为减函数，，，故答案为.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性、对称性、单调性及函数图象的平移法则，属于中档题.在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性（对称性）与周期性将，，，通过等值变形，将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．三、解答题17．计算：（1）（2）．【答案】⑴；⑵．【解析】试题分析：对问题⑴，根据有理指数幂的运算法则，即可求得代数式的值；对问题⑵，根据对数恒等式、对数的运算法则即可求出的值．试题解析：⑴原式，．…………………………6分⑵原式，．………………………………12分【考点】1、指数以及指数式的运算；2、对数以及对数式的运算．18．已知函数．第10页共16页（1）若，求不等式的解集；（2）若函数的最小值为3，求实数的值．【答案】（1）和；（2）或.【解析】试题分析：(1)利用函数的解析式进行零点分段可得不等式的解集为和.(2)分类讨论当时，当时，当时，各种情况可得或.试题解析：（1）,当时，，即；当时，，即，此时无实数解；当时，，即，综上所述，不等式的解集为和.（2）当时，最小值为，不符合题意，当时，，，此时；当时，，，此时，综上所示，或.点睛：含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．19．已知函数．（1）求；（2）证明函数在上是减函数．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）直接利用幂指数的运算法则求解即可；（2）利用单调性的定义证明，设第11页共16页，可得，从而可得结论.【详解】（1）∵，．∴；（2）设，则，，，，∴∴，∴函数在上是减函数．【点睛】判断函数单调性的一般方法：1．利用基本初等函数的单调性与图象：只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性；2．性质法：增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；第12页共16页3．导数法：在区间上恒成立，则函数在区间上单调递增；在区间上恒成立，则函数在区间上单调递减；4．定义法：作差法与作商法（常用来函数单调性的证明，一般使用作差法，运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤）．20．已知函数.（1）求函数的值域；（2）若时，函数的最小值为-7，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】(1)利用换元法，将函数转化为二次函数，配方后，利用函数的单调性，我们可以求出函数的值域；(2)利用换元法，将函数转化为二次函数，由函数的单调性，得到时，函数取得最小值，利用函数的最小值为-7，列方程就可以求的值.【详解】（1）令，∴∵，∴函数在上单调递减，∴，∴函数的值域为（2）∵，∴时，，∵∴函数在上单调减∴时，函数取得最小值∵时，函数的最小值为﹣7，∴∴∴或-4舍去）所以．第13页共16页【点睛】本题主要考查函数值域的求解方法，属于中档题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题求值域时主要应用方法①结合方法②解答的.21．已知（，且，）是定义在区间上的奇函数，（1）求的值和实数的值；（2）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；（3）若且成立，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递减,证明见解析；（3）．【解析】（1）根据奇函数的特性，可得,再由,，可得实数的值；（2）讨论两种情况，当时，当时，分别结合对数函数的图象和性质,及复合函数同增异减的原则，可得函数在区间上的单调性；（3）由，可得函数在区间上的单调递增，结合函数的定义域和奇偶性，解不等式，可得实数的取值范围.【详解】（1）∵（，且，）是定义在区间上的奇函数，∴，且，即，第14页共16页即，可得，故，又∵，故，（2）由（1）得，令，则在区间上单调递减，当时，为减函数，此时函数在区间上的单调递增；当时，为增函数，此时函数在区间上的单调递减；（3）若，则，由（1）得，函数在区间上的单调递增，若，则，则，则，解得：.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题.已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用