47椭圆总结(全)

1椭圆一．知识清单1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F1，F2的距离的和等于定长2122FFaa的动点P的轨迹，即点集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（212FFa时为线段21FF，212FFa无轨迹）。其中两定点F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|edPF，0＜e＜1的常数。（1e为抛物线；1e为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2标准方程：（1）焦点在x轴上，中心在原点：12222byax（a＞b＞0）；焦点F1（－c，0），F2（c，0）。其中22bac（一个Rt三角形）（2）焦点在y轴上，中心在原点：12222bxay（a＞b＞0）；焦点F1（0，－c），F2（0，c）。其中22bac注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，22bac并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B），当A＜B时，椭圆的焦点在x轴上，A＞B时焦点在y轴上。3参数方程：焦点在x轴，sincosbyax（为参数）4一般方程：)0,0(122BAByAx5.性质：对于焦点在x轴上，中心在原点：12222byax（a＞b＞0）有以下性质：坐标系下的性质：①范围：|x|≤a，|y|≤b；②对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O（0，0）；③顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），长轴|A1A2|=2a，短轴|B1B2|=2b；（a半长轴长，b半短轴长）；④椭圆的准线方程：对于12222byax，左准线caxl21:；右准线caxl22:奎屯王新敞新疆对于12222bxay，下准线cayl21:；上准线cayl22:奎屯王新敞新疆2焦点到准线的距离cbccaccap2222（焦参数）椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称奎屯王新敞新疆⑤焦半径公式：P（x0，y0）为椭圆上任一点。|PF1|=左r=a+ex0，|PF2|=右r=a-ex0；|PF1|=下r=a+ey0，|PF2|=上r=a-ey0caPFcaPFminmax,，左加右减，上减下加⑥通径：过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆通径，通径最短=ab22平面几何性质：⑦离心率：e=2221ccbaaa（焦距与长轴长之比）1,0；e越大越扁，0e是圆。⑧焦准距cbp2；准线间距ca22⑨两个最大角221max21221max21,ABAPAAFBFPFF焦点在y轴上，中心在原点：12222bxay（a＞b＞0）的性质可类似的给出。6．焦点三角形应注意以下关系：(1)定义：r1＋r2＝2a(2)余弦定理：21r＋22r－2r1r2cos＝(2c)2(3)面积：21FPFS＝21r1r2sin＝21·2c|y0|=c|y0|=2tan2b(其中P(00,yx)为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝)7.共焦点的椭圆系设法：把椭圆12222byax（a＞b＞0）的共焦点椭圆设为222221()xybab8.特别注意：椭圆方程中的a,b,c,e与坐标系无关,而焦点坐标,准线方程,顶点坐标,与坐标系有关.因此确定椭圆方程需要三个条件:两个定形条件a,b,一个定位条件焦点坐标或准线方程.9.弦长公式：22121221111ABkxxyykka1212bxxacxxa（a,b,c为方程的系数考点1椭圆定义及标准方程题型1:椭圆定义的运用[例1](湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光3线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径不计），从点A沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是A．4aB．2(a－c)C．2(a+c)D．以上答案均有可能[解析]按小球的运行路径分三种情况:(1)ACA,此时小球经过的路程为2(a－c);(2)ABDBA,此时小球经过的路程为2(a+c);(3)AQBPA此时小球经过的路程为4a,故选D【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】1.短轴长为5，离心率32e的椭圆两焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于A、B两点，则△ABF2的周长为（）A.3B.6C.12D.24[解析]C.长半轴a=3，△ABF2的周长为4a=122.已知P为椭圆2212516xy上的一点，,MN分别为圆22(3)1xy和圆22(3)4xy上的点，则PMPN的最小值为（）A．5B．7C．13D．15[解析]B.两圆心C、D恰为椭圆的焦点，10||||PDPC，PMPN的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程[例2]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用关于参数cba,,的式子“描述”出来[解析]设椭圆的方程为12222byax或)0(12222baaybx，则222)12(4cbacacb，解之得：24a，b=c＝4.则所求的椭圆的方程为1163222yx或1321622yx.【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数cba,,的数量关系．［警示］易漏焦点在y轴上的情况．【新题导练】3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数k的取值范围是____________.OxyDPABCQ4[解析](0,1).椭圆方程化为22x+ky22=1.焦点在y轴上，则k22，即k1.又k0，∴0k1.4.已知方程),0(,1sincos22yx,讨论方程表示的曲线的形状[解析]当)4,0(时，cossin，方程表示焦点在y轴上的椭圆，当4时，cossin，方程表示圆心在原点的圆，当)2,4(时，cossin，方程表示焦点在x轴上的椭圆5.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，求这个椭圆方程.[解析]caca23332ca，3b，所求方程为122x+92y=1或92x+122y=1.考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）[例3]在ABC△中，3,2||,300ABCSABA．若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e．【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率[解析]3sin||||21AACABSABC，32||AC，2cos||||2||||||22AACABACABBC2132322||||||BCACABe【名师指引】（1）离心率是刻画椭圆“圆扁”程度的量，决定了椭圆的形状；反之，形状确定，离心率也随之确定（2）只要列出cba、、的齐次关系式，就能求出离心率（或范围）（3）“焦点三角形”应给予足够关注【新题导练】6.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为A.45B.23C.22D.21[解析]选B57.已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆122nymx的离心率为[解析]由02222mnnmnnmn42nm，椭圆122nymx的离心率为22题型2:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）[例4]已知实数yx,满足12422yx,求xyx22的最大值与最小值【解题思路】把xyx22看作x的函数[解析]由12422yx得22212xy,2202122xx]2,2[,23)1(212212222xxxxxyx当1x时,xyx22取得最小值23,当2x时,xyx22取得最大值6【新题导练】9.已知点BA,是椭圆22221xymn（0m，0n）上两点,且BOAO,则=[解析]由BOAO知点BOA,,共线,因椭圆关于原点对称,110.如图，把椭圆2212516xy的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点则1234567PFPFPFPFPFPFPF________________［解析］由椭圆的对称性知：352536271aFPFPFPFPFPFP．考点3椭圆的最值问题[例5]椭圆191622yx上的点到直线l:09yx的距离的最小值为___________．【解题思路】把动点到直线的距离表示为某个变量的函数[解析]在椭圆上任取一点P,设P(sin3,cos4).那么点P到直线l的距离为：|9)sin(5|2211|12sin3cos4|22.22【名师指引】也可以直接设点),(yxP，用x表示y后，把动点到直线的距离表示为x的函数，关键6是要具有“函数思想”【新题导练】11.椭圆191622yx的内接矩形的面积的最大值为[解析]设内接矩形的一个顶点为)sin3,cos4(，矩形的面积242sin24cossin48S12.P是椭圆12222byax上一点，1F、2F是椭圆的两个焦点，求||||21PFPF的最大值与最小值[解析]],[||,)|(||)|2(||||||12211121cacaPFaaPFPFaPFPFPF当aPF||1时，||||21PFPF取得最大值2a，当caPF||1时，||||21PFPF取得最小值2b13.已知点P是椭圆1422yx上的在第一象限内的点，又)0,2(A、)1,0(B，O是原点，则四边形OAPB的面积的最大值是_________．[解析]设)2,0(),sin,cos2(P，则cos221sin21OBOASSSOPBOPAOAPB2cossin考点4椭圆的综合应用题型：椭圆与向量、解三角形的交汇问题[例6]已知椭圆C的中心为坐标原点O,一个长轴端点为0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A、B，且PBAP3．（1）求椭圆方程；（2）求m的取值范围．【解题思路】通过PBAP3，沟通A、B两点的坐标关系，再利用判别式和根与系数关系得到一个关于m的不等式[解析]（1）由题意可知椭圆C为焦点在y轴上的椭圆，可设2222:1(0)yxCabab由条件知1a且bc，又有222abc，解得21,2abc故椭圆C的离心率为22cea，其标准方程为：12122xy（2）设l与椭圆C交点为A（x1，y1），B（x2，y2）7y＝kx＋m2x2＋y2＝1得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）0（*）x1＋x2＝－2kmk2＋2，x1x2＝m2－1k2＋2∵AP＝3PB∴－x1＝3x2∴x1＋x2＝－2x2x1x2＝－3x22消去x2，得3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0，∴3（－2kmk2＋2）2＋4m2－1k2＋2＝0整理得4k2