误差椭圆

1第七章误差椭圆2•7.1概述•一、点位误差•A－－已知点•P－－待放样点P的真位置•P´－－P点平差后的平差值点位22ˆ~ˆ~yxPPyyyxxxyxPPPPP点点位真误差：方向的真误差：、点在xyOAPP´suXY3•点位中误差虽可评定点位的精度，但无法确切知道该点在某一指定方向上的中误差（位差），此问题可用误差椭圆解决。•.横纵横纵＝或＝点点位中误差：QQQQPusPyyxxyxP2022222202224•误差椭圆与点位中误差表示点位精度的不同之处•1〕点位方差总是等于点位上任意两个垂直方向的位差的平方之和：•2〕点位中误差P与坐标系的选择无关，是一个平均量；•而误差椭圆可显示出点位在任意方向上的中误差（位差）的大小。2222222FEyxp纵横＋5•间接平差协因数阵的计算：ymymymxmymxjymxjymyymxxmymxmxmxmyjxmxjxmyxmxymyxmyyjyxjyyyxyymxxmxyjxxjxyxxxTXXQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQQPBBQ111111111111111111111没有多余观测不能进行平差，但可以利用间接平差法的方法来进行精度评定。（条件平差一般不求误差椭圆）6•二、任意方向（与X轴顺时针夹角为）的位差•P－－某待定点真位置•P－－该点平差位置yxyxPPPPPPPPPPPsincossincos方向上的影响（投影）－－点位真误差在－－点位真误差YXPPP´yxP7QQQQQQQQQQxyyxxyyyxxyyxyxyxx02222202222sinsincos2sinsincossincossincos任意方向的位差任意方向的方差：8三、位差的极大值E和极小值FCQCQCQCQICCCXCyxXXTXXTTT其中，上的方差及协因数为点位在方向满足：上式中的向量上的影响（投影）为点位真误差在任意方向20202sincos9的两个特征根。就是可见：后，得：上式求导并令其等于零组成函数：求条件极值。极小值和能取到极大值角取何值时，问：XXXXTXXTQCIQICCCQCQQQ0?minmax1022min2max1224212142121,0xyyyxxyyxxFFyyxxEExyyyxxyyxxyyxxyyxyxyxxXXQQQKKQQQQKQQQQQQQQQQQQQQQIQ其中即得由特征方程：11222222222222222222200min000max04214212121PyxxyyxyxxyyxyxyyxxFFyyxxEEFEFEKQQQQFKQQQQEFEP其中：或写成为和极小值点位差极大值12（象限判断）计算通式：同理得：得。、极大值和极小值的方向用求特征向量的方法求22011222tantantan,0sincosyxxyyyxxxyxyxxFFFxyxxEEEEEyyxyxyxxFEQQQQQQQQQQQQQ13•四、用位差的极大值E和极小值F来表示任意方向的位差大小•X´轴－－最大位差（主轴）方向，方位角为。•Y´轴－－最小位差方向。yyFFxxEEQQFQQE2020220202XYX´Y´E142sinsincos2sinsincos20222222222EFEFFFEEQFEX角方向的方差：旋转轴正方向开始，顺时针从xyEyyxxEEEyyxyxyxxEEEFyxEEEEEFQQQQQQQQQyxyxQ2cos2sin21cossinsincoscossinsincos根据误差传播定律，有公式，有：的关系。利用坐标转换现推求152222222sincossincos02cos2sin22FEQQQQQQQtgFFEEEFEEyyxxxyE上的方差为：方向上的权倒数为：所以方向代入，就可得到将关系式16•得中误差曲线。为极距，可画为极角，～以时，当时，当3600900sincossincos22min222max2222222202FEFEQQyyxx177.3误差椭圆与中误差曲线的关系•中误差曲线表达了每一个方向上的中误差的大小，它在E角处取得极大值，其极大值及极小值又正好和误差椭圆长短轴相等，误差椭圆又比中误差曲线规则、好画，所以常用误差椭圆代替中误差曲线。•误差椭圆反映的是待定点的点位分布情况，是一个概率形象。当坐标轴旋转E角后，可得标准椭圆方程。18•在误差椭圆上量取任意方向的位差•方法：过椭圆作方向的正交切线PF•P－切点，F－垂足，则•中误差曲线在测量中的应用举例X´Y´PFOFO19•误差椭圆绘制：•1)E角无负值；•2)EF；•3)测量坐标系绘制；•4）误差椭圆绘制的比例尺比地形图的比例尺要大，一般为1：10或1：1等。20•7.4相对误差椭圆•点位误差椭圆－待定点对已知点的点位精度情况•相对误差椭圆－两个待定点之间相对位置的精度情况•设两待定点k、t，用坐标差表示其相对位置：kkttktktktktYXYXYXYYYXXX1010010121•根据误差传播定理，得：计算式。点位误差椭圆的等均为零，上式即变为、、、点已知，则若tkktkkkktkktkktttkkkttktkkttyyxxyyxxyxyxyxyxyxyyyyyyyyxxxxxxxxQQQQkQQQQQQQQQQQQQ222222202242yxyyxxyyxxyyxxyyEEyxEQQQKKQQQQbaQQQtgtk其中两点相对误椭参数：、7.5点位落入误差椭圆内的概率232222222121exp121,yyyxyxxxyxyyxxyxf率密度函数：二维正态分布的联合概22222,12122,,,exp121,2yyyxyxxxyxyxyxyyxxyxyxyxfz的同心椭圆。设：组中心坐标为取不同的值，将得到一即24BedxdyyxfByxPByxf221,,,内的概率为：待定点落入误差椭圆情况。映了待定点点位分布的取不同常数时，椭圆反当122222222222FyExyxyxEyyxxyx角，得标准椭圆方程为再使坐标轴旋转时，椭圆方程变为，当把坐标原点移到点该标准椭圆称为标准误差椭圆或中误差曲线，其长半轴正好等于位差最大值E，短半轴等于F，所以用该误差椭圆取代中误差曲线。