数学-盐城中学2015-2016学年高一上学期试题

1盐城中学高一考试数学试题及参考答案20160109一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分）1．计算:sin13°cos17°+cos13°sin17°=▲．1/22．函数22()1xxfxx的定义域为▲．0,11,23．幂函数)(xfy的图象过点),2,2(A则)4(f的值为▲．24．已知向量(4,0),(2,2),ABAC则ABAC与的夹角的大小为▲．45．给定两个向量a=（1，2），b=（x，1），若)22(//)2(baba，则x的值等于▲．216．函数()yfx的图像按向量(1,2)a平移后,得到的图像的解析式为sin(1)2yx.那么()yfx的解析式为▲．sin(2)yx7．已知m，n为实数，若关于x的不等式x2+mx+n＜0的解集为(—1，3)，则m+n的值为▲．-58．如图已知在ABC中，2A，2,4ABAC，12AFAB，12CECA，14BDBC，则DEDF的值为▲．-1/49．对于任意实数]1,1[k，函数42)4()(2kxkxxf的值恒大于零,则实数x的取值范围是▲．),3()1,(10．设x为任意正实数，则函数2180()7fxxxx的最小值是▲．2411．已知锐角ABC，平面上点P满足234ABACAP，则:ABCPBCSS=▲．4：112．已知函数)0(,)(2axaxxf,对任意实数1[2,)x，存在实数2[1,)x,使得1)()(21xfxf成立,则a的取值范围为▲．12a13．已知22log(),0()log1,0xxgxxx，若使函数()()(0)fxgxaam存在整数零点的实数a恰有4个，则实数m的取值范围是▲．2[log6,3)14．已知函数32()(21)fxmxmxx对任意两不等实数12,[3,)xx,都有2112221212()()2xfxxfxxxxx恒成立,则m的取值范围为▲．3[.)8解答题（本大题共6题，共80分）15．(本小题共12分)ABCDEF2计算：(1)130240.040.3162log33lg252lg224．(2)已知cos＝－35，0＜＜．求tancos(α＋π3)的值．解：每小题6分，答案:（1）1/2（2）49/3023/516．(本小题共12分)已知函数()sin23cos2fxxx.（I）求)(xf的最小正周期和单调递减区间；（II）若函数()()gxfxk在[0,]6上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．解：每小题6分（Ⅰ）()sin23cos22sin(2/3)fxxxx由此得)(xf的最小正周期为.由3222()232kxkkZ得：7()1212kxkkZ所以函数)(xf的递减区间为7[,]()1212kkkZ.（II）由0,6x，得23x2,33，而函数sinx在,32上单调递增,在2,23上单调递减，所以()[3,2]fx，所以若函数()()gxfxk在0,6上有两个不同的零点，则[3,2)k.17．(本小题共14分)已知函数()2sin()3fxx，且0，R.（I）若函数()fx的图象经过点(,2)3，且03，求的值；（II）在（I）的条件下，若函数()()0gxmfxnm，当[2,]3x时，函数()gx的值域为[2,1]，求m，n的值；（III）若函数()()3hxfx在[,]33上是减函数，求的取值范围..解：(Ⅰ)因为函数2sin3fxx的图象经过点,23，3所以2sin233所以2,332kkZ所以16,2kkZ,因为03，所以1063,.2kkZ所以0k所以12(Ⅱ)因为21，所以1()2sin.23gxmxn因为23x，所以213236x.所以111sin.232x所以2.mngxmn因为函数gx的值域为2,1，所以22,1.mnmn解得1,0.mn（Ⅲ）。。。。。。所以的取值范围是10218．(本小题共14分)（I）盐城城南新区大学城内有五所大学，其在城市的位置坐标依次为（1，9），（3，5），（4，3），（5，8），（6，2），为了方便学生生活，需在大学城内部建一生活超市，其坐标为（m，n），其中,mn都要求是整数，并且要满足生活超市到五个大学城的“出租车距离”（若1122(,),(,)AxyBxy，则定义AB两点的出租车距离为2121xxyy）之和最小，求生活超市所建位置的坐标并说明理由。（II）已知函数()6235fxxxxx，现对任意实数[0,3]x，等式22(1)(1)fxmxfxmx恒成立，求实数m的取值范围。解：（1）1345695382dxxxxxyyyyy。。转化求12dd和的最小值，其中113456dxxxxx295382dyyyyy利用分段函数图象或单调性说明14xd时最小，25yd时最小所以生活超市所建位置的坐标（4，5）（2）注意到22(1)(1)2xmxxmx以及分段函数()6235fxxxxx的单调性，可知22(1)(1)fxmxfxmx只有22312312xmxxmx…………10分4。。。。。。（分离参数，分类讨论，恒成立问题）可求8[,22]3m19．（本题满分14分）定理：对于定义域为D的函数()yfx,若对于任意的xD都有()()2faxfaxb成立，则函数()yfx的图象关于点(,)ab中心对称.(1)若函数1()fxxmxx12的图象关于点(0,1)中心对称.求m的值；(2)定义在实数集R上的函数()fx若满足(1)(1)2fxfx,且()fx关于点(1,1)中心对称，试求函数()yfx图像的对称轴方程；(3)设函数(),()yfxygx在定义域R上的图象都是关于点(,)ab中心对称.试就函数()()yfxgx，()()yfxgx，()()yfxgx及()()fxygx,指出其中一个函数的图象一定是中心对称曲线及其对称中心，再指出其中一个函数的图象可以不是中心对称曲线，并分别说明理由.解：（1）第1小题3分：1m（2）第2小题7分：证出函数为偶函数，证出函数是周期函，周期为4，证出函数在一个周期[0,4)内有对称轴两条：0,2xx所以函数()yfx图像的对称轴方程为2()xkkZ（3）第3小题4分：由于f(a+x)+g(a+x)+f(a-x)+g(a-x)=4b成立，则函数y=f(x)+g(x)的图象关于点(a,2b)中心对称.由于f(a+x)-g(a+x)+f(a-x)-g(a-x)=成立，则函数y=f(x)-g(x)的图象关于点(a,0)中心对称.y=f(x)·g(x)及y=)()(xgxf可以不是中心对称曲线，反例是y=f(x)=g(x)=x与f(x)=x5,g(x)=x320．(本小题共14分)定义域为D的函数)(xf,如果对于区间I内)(DI的任意两个数1x、2x都有)]()([21)2(2121xfxfxxf成立,则称此函数在区间I上是“凸函数”.(1)判断函数xxflg)(在(0,)上是否是“凸函数”,并证明你的结论;(2)如果函数xaxxf2)(在]2,1[上是“凸函数”,求实数a的取值范围;(3)对于区间],[dc上的“凸函数”)(xf,在],[dc上任取1x,2x,3x,,nx.5①证明:当4n时,)]()()([1)(2121nnxfxfxfnnxxxf成立;②请再选一个与①不同的且大于1的整数n,证明:)]()()([1)(2121nnxfxfxfnnxxxf也成立.解:(1)设1x,2x是R上的任意两个数,先证212124()xxxx，则01lg)(4lg2lg2lglg)2(2)()(2212121212121xxxxxxxxxxfxfxf)]()([21)2(2121xfxfxxf.函数xxflg)(在R上是“凸函数”(2)对于]2,1[上的任意两个数1x,2x,均有)]()([21)2(2121xfxfxxf成立,即)]()[(212)2(22212121221xaxxaxxxaxx,整理得)()(21)(2121221221xxxxxxaxx若21xx,a可以取任意值.（若21xx这一步没有讨论，则扣一分）若21xx,得)(212121xxxxa,1)(2182121xxxx,8a.综上所述得8a(3)①由已知得)]()([21)2(2121xfxfxxf成立.所以343412121234()()2222()()422xxxxxxxxffxxxxff而)]()([21)2(2121xfxfxxf，3434()()()22xxfxfxf所以341212341234()()()()()()()()22()424fxfxfxfxxxxxfxfxfxfxf②比如证明3n不等式成立.由①知6dxc1,dxc2,dxc3,dxc4,有)]()()()([41)4(43214321xfxfxfxfxxxxf成立.dxc1,dxc2,dxc3,dxxxc)(31321,)43()3(321321321xxxxxxfxxxf)]()()()3([41421321xfxfxfxxxf,从而得)]()()([31)3(321321xfxfxfxxxf（若证别的n值且证明过程正确，同样给3分）