七宝中学新信息背景下的数列问题

1.定义：若对任意*Nn，数列na的前n项和nS都为完全平方数，则称数列na为“完全平方数列”；特别的，存在*Nn，使得数列na的前n项和nS为完全平方数，则称数列na为“部分平方数列”；（1）若数列na为“部分平方数列”，且*12,21,2Nnnnann，求使数列na的前n项和nS为完全平方数时n的值；（2）若数列nb的前n项和*2NttnTn，那么数列nb是否为“完全平方数列”？若是，求出t的值；若不是，请说明理由；（3）试求所有为“完全平方数列”的等差数列新信息背景下的数列问题例12.已知数列na的前n项和为nS，且满足nnnSaaaa3,311，设*,3NnSbnnn（1）求证：数列nb是等比数列；（2）若*1,Nnaann，求实数a的最小值；（3）当4a时，给出一个新数列ne，其中2,1,3nbnenn，设这个新数列的前n项和为nC，若nC可以写成1,1,*ptNpttp且的形式，则称nC为“指数型”和，问：nC中是的项是否存在“指数型”和，若存在，求出所有“指数型”和；若不存在，请说明理由。新信息背景下的数列问题例23.如果存在常数a使得数列na满足：若x是数列na中的一项，则xa也是数列na中的一项，那么就称数列na为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”（1）若数列4,3,2,1mn是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；（2）若又穷递增数列nb是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列nb的前n项和anSn2；（3）已知又穷等差数列nc的项数是300nn，所有项之和是B，试判断数列nc是否为“兑换数列”？如果是，给欲证明，并用0n和B表示它的“兑换系数”；如果不是，请说明理由。新信息背景下的数列问题例34.设数列na满足：①11a；②所有项*Nan；③1211nnaaaa设集合*,|NmmanAnm，将集合mA中的元素的最大值记为mb，即mb是数列na中满足不等式man的所有项项数的最大值，我们称数列mb为数列na的伴随数列。入数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3（1）若数列na的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列na；（2）设13nna，求数列na的伴随数列nb的前30项和；（3）若数列na的前n项和cnSn2（其中c为常数），求数列na的伴随数列mb的前m项和mT新信息背景下的数列问题例45.对于数列naaaA,,,:21，若满足：niai,,3,2,11,0则称数列A为“0-1数列”，定义变换:T将“0-1数列”A中原有的每个1变成0，1，原有的每个0变成1，0，例如：1,0,1:A则1,0,0,1,1,0:AT；设0A是“0-1数列”，令3,2,1,1kATAkk（1）若数列1,0,0,1,0,1,1,0,1,0,0,1:2A，求数列01,AA；（2）若数列0A共有10项，则数列2A中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；（3）若1,0:0A，记数列kA中连续两项都是0的数对个数为,3,2,1klk，，求kl关于k的表达式新信息背景下的数列问题例56.已知数列*21,2,,,:NnnaaaAnn是正整数n,,3,2,1的一个全排列，若对每个nk,,3,2都有321或kkaa，则称nA为H数列（1）写出满足55a的所有H数列5A；（2）写出一个满足403,,2,155kkak的H数列2015A的通项公式（3）在H数列2015A中，记403,,2,15kabkk，若数列kb是公差为d的等差数列，求证：55dd或新信息背景下的数列问题例67.若有穷数列3,,,21naaan满足：（1）01niia；（2）11niia，则称该数列为“n阶非凡数列”（1）分别写出一个单调递增数列的“3阶非凡数列”和一个单调递减的“4阶非凡数列”；（2）设*Nk，若设“12k阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（3）记“n阶非凡数列”的前m项的和为nmSm,,3,2,1，求证：①21mS；②nianii21211新信息背景下的数列问题例78.对于数列na，把1a作为新数列nb的第一项，把ia或niai,,4,3,2作为新数列nb的第i项，数列nb成为数列na的一个生成数列。例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是5,4,3,2,1；已知数列nb为数列*21Nnn的生成数列，nS为数列nb的前n项和。（1）写出3S的所有可能值；（2）若生成数列nb满足nnS811713，求数列nb的通项公式；（3）证明：对于给定的nSNn,*的所有可能值组成的集合为1*2,,212|nnkNkkxxA新信息背景下的数列问题例89.有限数列3,,,:21naaaAnn同时满足下列两个条件：①对于任意的jiaanjiji,1,②对于任意的kikjjiaaaaaankjikji,,,1,,三个数中至少有一个数是数列nA中的项（1）若4n，且6,,2,14321aaaaa，求a的值；（2）证明：2，3，5不可能是数列nA中的项；求n的最大值。新信息背景下的数列问题例910.对于实数x，将满足“10y且yx为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号x表示，对于实数a，无穷数列na满足如下条件：aa1，0,00,11nnnnaaaa，其中3,2,1n（1）若2a，求数列na；（2）当41a时，对任意的*Nn，都有aan，求符合要求的实数a构成的集合A；若a是有理数，设qpa（p是整数，q是正整数，qp、互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有0na成立，并证明你的结论。新信息背景下的数列问题例1011.设数列na和nb的项均为m，则将数列和的距离定义为miiiba1（1）求出该数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2）设A为满足递推关系nnnaaa111的所有数列na的集合，nb和nc为A中的两个元素，且项数均为m，若3,211cb，nb和nc的距离小于2016，求m的最大值；记S是所有7项数列10,71|或nnana的集合，ST，且T由任何两个元素的距离大于或等于3，证明：T中的元素个数小于或等于16新信息背景下的数列问题2016北京西城一模12.已知数列2,,,,,:*321nNnaaaaAnn满足01naa，且当Nknk2时，121kkaa，记niinaAS1（1）写出5AS的所有可能的值；（2）求nAS的最大值；新信息背景下的数列问题历年好题精选213.设数列na共有3mm项，记该数列前i项iaaa,,,21中的最大项为iA，该数列后im项miiaaa,,,21中的最小项为1,,3,2,1,mIBArBiiii（1）若数列na的通项公式为nna2，求数列ir的通项公式；（2）若数列na满足2,11ira，求数列na的通项公式；（3）试构造一个数列na，满足nnncba，其中nb是公差不为零的等差数列，nc是等比数列，使得对于任意给定的正整数m，数列ir都是单调递增的，并说明理由。新信息背景下的数列问题历年好题精选314.设nfk是关于n的Nkk次多项式，数列na的首项11a，前n项和为nS，对于任意的正整数nfSanknn,都成立（1）若0k，求证：数列na是等比数列；（2）试确定所有的自然数k，使得na能成等差数列；新信息背景下的数列问题历年好题精选415.数列na的前n项和为nS，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得mnaS，则称na是“E数列”（1）数列na的前n项和为nnS3，判断数列na是否为“E数列”，并说明理由；（2）数列nb是等差数列，其首项11b，公差0d，若数列nb是“E数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列na，总存在两个“E数列”nb，nc，使得nnncba成立。新信息背景下的数列问题2016上海五校联考