椭圆定义及其标准方程

椭圆及其标准方程问题的提出：若将一根细绳两端分开并且固定在平面内的F1、F2两点，当绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在平面内慢慢移动，问笔尖画出的图形是什么呢？椭圆的定义：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。1F2FxyO),(yxM1F2FxyO),(yxM取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系。设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与F1、F2的距离的和等于常数2a，则F1(-c,0)、F2(c,0)。由定义知：aMFMF221()()222221ycxMFycxMF-()()aycxycx22222-将方程移项后平方得：()()()222222244ycxycxaaycx---()222ycxacxa--两边再平方得：2222222222422yacacxaxaxccxaa--()()22222222caayaxca--标准方程的推导:()()22222222caayaxca--由椭圆定义知：0,,2222-cacaca即():0222得设-bbca222222bayaxb()012222babyax两边同除以得：22ba这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上。如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为：()012222babxay它也是椭圆的标准方程。1F2FxyO),(yxM标准方程的推导:椭圆的标准方程()012222babyaxyoF1F2MxyxoF2F1M()012222babxay快速练习：判定下列椭圆的焦点在那条轴上?并指出焦点坐标。11625)1(22yx答：在X轴。（-3，0）和（3，0）1169144)2(22yx答：在y轴。（0，-5）和（0，5）判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.例1:已知椭圆的焦点在x轴上,焦距为8,椭圆上的点到两个焦点的距离之和为10,求:该椭圆的标准方程.解:945.4,5,82,10222222--cabcaca1.确定焦点在那条轴上。2.求出a,b的值。求椭圆的标准方程的关键：xxx因为椭圆的焦点在x轴上,所以它的标准方程为:例2：求下列椭圆的焦点和焦距。145)1(22yx故:所以椭圆的焦点为:焦距为2.解：因为54，所以椭圆的焦点在x轴上，并且4,522ba22,1,1222-ccbac)0,1(),0,1(21FF-例2：求下列椭圆的焦点和焦距。8222-bac因为:168,所以椭圆的焦点在y轴上，并且所以椭圆的焦点为:焦距为:.解：将方程化成标准方程为：故,8,1622ba（2）16222yx116822yx,8222-bac242,22cc)22,0(),220(21FF-24分组练习：求椭圆的焦点坐标与焦距1615)1(22yx答：焦点（-3，0）（3，0）焦距2c=6116925)2(22yx答：焦点（0，-12）（0，12）焦距2c=24练习2：（2），焦点在y轴上；15,4ca（1），焦点在x轴上；1,4ba写出适合下列条件的椭圆的标准方程:答案:1116).1(22yx1116)2(22xy小结：1、椭圆的定义.2、字母a,b,c之间的大小关系.3、在求椭圆方程的关键是什么?1F2FxyO),(yxMyxoF1F2M六、布置作业：1).P96习题8.1：1、2、3、2)预习:p94例2,p95例3