基于图论的数学建模

1数学建模理论与实践——基于图论的数学建模2基于图论的数学建模一、欧拉环游问题与中国邮递员问题二、最小生成树模型三、最短路模型3一、欧拉环游问题与中国邮递员问题（一）图的概念（二）欧拉环游及弗莱里算法（三）中国邮递员问题4（一）图的概念问题的提出：现实生活中，我们经常碰到一些现象，如：在一群人中有些人互相认识，有些人互相不认识。又如：某航空公司在100个城市之间建立若干航线，某些城市间有直达航班，而另一些城市间没有直达航班等等。以上现象都有共同内容：一是有研究的“对象”，如人，城市等；二是这些对象之间存在着某种关系：如互相认识，有直达航班等。为了表示这些对象以及对象之间的关系，我们将“点”代表“对象”，“边”表示“对象之间的关系”，引出了“图”这个概念。5几个基本概念：图：由若干个不同的点与连接其中某些顶点的边所组成的图形，称为图(,)GVE图有二要素：“点”和“边”：“点”表示对象，“边”反映对象之间的关系。（一）图的概念6进一步的概念：（一）图的概念7环游与欧拉环游：（一）图的概念8七桥问题：（二）欧拉环游及弗莱里算法流经哥尼斯堡的普雷格河的河湾有两个小岛，七座桥连接了两岸和小岛（如图1），当地流传一个游戏：要求在一次散步中恰好通过每座桥一次。9七桥问题：（二）欧拉环游及弗莱里算法在这个问题中，我们可以将“两个小岛和两岸”看成“点”。连接他们之间的“七座桥”看成“边”，得到图2。“七桥问题”可以归结为“一笔画”问题：即能否用一支笔不离开纸面地画出经过所有桥一次的路线。用图论的术语，就是一个图是否存在欧拉环游？如果有，如何找出来？10存在欧拉环游的条件：（二）欧拉环游及弗莱里算法一个图存在欧拉环游的条件是：网络有欧拉环游当且仅当中每一点的次为偶数。一般地，一个图能“一笔画”（不要求回到起点），当且仅当该图或没有奇点，或只有2个奇点。利用上述结论，我们判定“七桥问题”不能实现“一笔画”，因为七桥问题中的图有4个奇点。但是要注意，一个图存在欧拉环游，如果方法不对，仍然可能找不到具体的欧拉环游。11弗莱里算法：（二）欧拉环游及弗莱里算法12弗莱里算法求欧拉环游的实例：（二）欧拉环游及弗莱里算法A(~)BA(~)BAA(~)BACA(~)BACDA(~)BACDEA(~)BACDECA(~)BACDECBE(~)DA以A为起点…13问题提出：（三）中国邮递员问题邮递员从邮局中取出邮件，递送到不同地点，然后再返回邮局。假设要求他至少一次走过他投递范围内的每一条街道，我们希望选择一条尽可能短的路线。中国邮递员问题要求的是在具有非负权的网络中找出一条权最小的环游，即最优环游。如果网络存在欧拉环游，我们可以按照上面的弗莱里算法求得其欧拉环游。对于一个没有欧拉环游的网络，可以通过添重复边的方法使得添加重复边后的网络具有欧拉环游。这里的关键问题是要求所添加重复边的权的和尽可能地小。问题解法：点数较多时，可用Edmonds和Johnson算法（这一算法较为复杂，这里不作介绍）；点数较少时，可用奇偶点图上作业法求解。14奇偶点图上作业法：（三）中国邮递员问题奇偶点图上作业法口诀：先分奇偶点，奇点对对连；连线不重迭，重迭需改变；圈上连线长，不得过半圈。15奇偶点图上作业法实例：（三）中国邮递员问题再利用弗莱里算法求得的欧拉环游即最优环游。此投递路线的总长度为：7×1+5×4+4×7+2×6+1×5=72。16二、最小生成树模型（一）森、树、生成树等有关概念（二）树的性质（三）求最小生成树的三种算法17（一）森、树、生成树等有关概念问题的提出：18（一）森、树、生成树等有关概念一个图的生成树可能不只一个，例如右面的一个图：它有许多生成树，例如下面每个树都是它的生成树：19（二）树的性质20（三）求最小生成树的三种算法算法一(克鲁斯凯尔，Kruskal)算法二(普赖姆，Prim)算法三(破圈法)21算法一(克鲁斯凯尔，Kruskal)算法一(克鲁斯凯尔，Kruskal)的中心思想是每次添加权尽可能小的边，使新的图无圈，直至得到生成树为止。该方法形象地简称为“最小边加入法”。22算法一(克鲁斯凯尔，Kruskal)e1e2=e3=e4e5e6=e7=e8从e1,e2开始加入e3，不可，则去掉e3保留e4、保留e5加入e8，不可，则去掉e8加入e7，不可，则去掉e7加入e6，不可，则去掉e6实例：23算法二(普赖姆，Prim)算法二(普赖姆，Prim)这是一种迭代算法，每进行一次迭代将产生组成网络N最小生成树T的一条边。它是一种“蚕食”性的算法，慢慢扩张自己的地盘。24算法二(普赖姆，Prim)实例：25算法三(破圈法)算法三(破圈法)就是在图中任意取一个圈，从圈中去掉权最大的边，将这个圈破掉。重复这个过程，直到图中没有圈为止，保留下的边组成的图即为最小生成树。26算法三(破圈法)27三、最短路模型（一）有向图及最短有向路（二）Dijkstra算法28（一）有向图及最短有向路问题的提出：29（一）有向图及最短有向路30（一）有向图及最短有向路31（一）有向图及最短有向路32（二）Dijkstra算法Dijkstra（狄克斯特拉）算法是一种求最短有向路的方法限于时间，此方法的介绍省略。下面补充一种用0-1规划的计算机方法求解最短有向路33（二）Dijkstra算法求下图中从v1到v7的最短有向路:34（二）Dijkstra算法!设每个有向路用xij来表示，其中i是起点编号、j是终点编号;!xij非0即1：最短路经过此边时为1；否则为0,LINGO程序如下;min=2*x12+5*x13+3*x14+7*x26+2*x23+5*x36+3*x35+1*x43+5*x45+1*x56+7*x57+5*x67;x12+x13+x14=1;x67+x57=1;x12-x23-x26=0;x23+x13+x43-x35-x36=0;x14-x43-x45=0;x35+x45-x57-x56=0;x26+x36+x56-x67=0;@bin(x12);@bin(x13);@bin(x14);@bin(x26);@bin(x23);@bin(x36);@bin(x35);@bin(x43);@bin(x45);@bin(x56);@bin(x57);@bin(x67);!结果：X14=X43=X35=X56=X67=1，其余为0；!此为最短路v1-v4-v3-v5-v6-v7，最短路的长度为1335教材P106-107第1、2、3、4题要求：1）第4题主要用程序方法求解。若能够写出手工求解方法，则更佳；2）解答题，写出具体解法；3）程序设计题，写出用有关软件实现的、并且是调试通过的程序。书面作业