平面几何 五大定理及其证明

平面几何定理及其证明一、梅涅劳斯定理1．梅涅劳斯定理及其证明定理：一条直线与ABC的三边AB、BC、CA所在直线分别交于点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，则有1ADBECFDBECFA．证明：如图，过点C作AB的平行线，交EF于点G．因为CG//AB，所以CGCFADFA————（1）因为CG//AB，所以CGECDBBE————（2）由（1）÷（2）可得DBBECFADECFA，即得1ADBECFDBECFA．2．梅涅劳斯定理的逆定理及其证明定理：在ABC的边AB、BC上各有一点D、E，在边AC的延长线上有一点F，若1ADBECFDBECFA，那么，D、E、F三点共线．证明：设直线EF交AB于点D/，则据梅涅劳斯定理有//1ADBECFDBECFA．因为1ADBECFDBECFA，所以有//ADADDBDB．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．二、塞瓦定理3．塞瓦定理及其证明定理：在ABC内一点P，该点与ABC的三个顶点相连所在的三条直线分别交ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，且D、E、F三点均不是ABC的顶点，则有1ADBECFDBECFA．证明：运用面积比可得ADCADPBDPBDCSSADDBSS．根据等比定理有ADCADCADPAPCADPBDPBDCBDCBDPBPCSSSSSSSSSS，ABCDEFPABCDEFD/ABCDEFG所以APCBPCSADDBS．同理可得APBAPCSBEECS，BPCAPBSCFFAS．三式相乘得1ADBECFDBECFA．4．塞瓦定理的逆定理及其证明定理：在ABC三边AB、BC、CA上各有一点D、E、F，且D、E、F均不是ABC的顶点，若1ADBECFDBECFA，那么直线CD、AE、BF三线共点．证明：设直线AE与直线BF交于点P，直线CP交AB于点D/，则据塞瓦定理有//1ADBECFDBECFA．因为1ADBECFDBECFA，所以有//ADADDBDB．由于点D、D/都在线段AB上，所以点D与D/重合．即得D、E、F三点共线．三、西姆松定理5．西姆松定理及其证明定理：从ABC外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或其延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线．证明：如图示，连接PC，连接EF交BC于点D/，连接PD/．因为PEAE，PFAF，所以A、F、P、E四点共圆，可得FAE=FEP．因为A、B、P、C四点共圆，所以BAC=BCP，即FAE=BCP．所以，FEP=BCP，即D/EP=D/CP，可得C、D/、P、E四点共圆．所以，CD/P+CEP=1800。而CEP=900，所以CD/P=900，即PD/BC．由于过点P作BC的垂线，垂足只有一个，所以点D与D/重合，即得D、E、F三点共线．四、托勒密定理6．托勒密定理及其证明定理：凸四边形ABCD是某圆的内接四边形，则有AB·CD+BC·AD=AC·BD．证明：设点M是对角线AC与BD的交点，在线段BD上找一点，使得DAE=BAM．因为ADB=ACB，即ADE=ACB，所以ADE∽ACB，即得ADDEACBC，即ADBCACDE————（1）由于DAE=BAM，所以DAM=BAE，即DAC=BAE。而ABD=ACD，即ABE=ACD，所以ABE∽ACD．即得ABCDEFPD/ABCDEMABCPEFDABBEACCD，即ABCDACBE————（2）由（1）+（2）得ADBCABCDACDEACBEACBD．所以AB·CD+BC·AD=AC·BD．7．托勒密定理的逆定理及其证明定理：如果凸四边形ABCD满足AB×CD+BC×AD=AC×BD，那么A、B、C、D四点共圆．证法1（同一法）：在凸四边形ABCD内取一点E，使得EABDAC，EBADCA，则EAB∽DAC．可得AB×CD=BE×AC———（1）且AEABADAC———（2）则由DAECAB及（2）可得DAE∽CAB．于是有AD×BC=DE×AC———（3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)．据条件可得BD=BE+DE，则点E在线段BD上．则由EBADCA，得DBADCA，这说明A、B、C、D四点共圆．8．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD的四个顶点不在同一个圆上，那么就有AB×CD+BC×ADAC×BD证明：如图，在凸四边形ABCD内取一点E，使得EABDAC，EBADCA，则EAB∽DAC．可得AB×CD=BE×AC————（1）且AEABADAC————（2）则由DAECAB及（2）可得DAE∽CAB．于是AD×BC=DE×AC————（3）由（1）+（3）可得AB×CD+BC×AD=AC×(BE+DE)因为A、B、C、D四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知AB×CD+BC×ADAC×BD所以BE+DEBD，即得点E不在线段BD上，则据三角形的性质有BE+DEBD．所以AB×CD+BC×ADAC×BD．五、欧拉定理9．欧拉定理及其证明定理：设ΔABC的重心、外心、垂心分别用字母G、O、H表示．则有G、O、H三点共线（欧拉线），且满足3OHOG．证明（几何法）：连接OH，AE，两线段相交于点G/；连BO并延长交圆O于点D；连接CD、AD、HC，设E为边BC的中点，连接OE和OC，如图．因为CD⊥BC，AH⊥BC，所以AH//CD．同理CH//DA．所以，AHCD为平行四边形．可得AH=CD．而CD=2OE，所以AH=2OE．ABCDEABCDOEHABCDE因为AH//CD，CD//OE，所以AH//OE．可得AHG/∽EOG/．所以////21AHAGHGOEGEGO．由//21AGGE，及重心性质可知点G/就是ABC的重心，即G/与点G重合．所以，G、O、H三点共线，且满足3OHOG．ABCDOEHG