平面几何研究----平面几何新思索(叶中豪)

平面几何新思索【000514】△OPQ是一个给定三角形，M，N是PQ的三等分点。在任意△ABC周围作：△FBA∽△MOP，△EAC∽△NQO。G是△ABC的重心。求证：△GEF∽△OPQ。OPQABCMNFEG上题是在研究拿破仑定理时，经过一番探索而编造出来的。结果发觉其难度并不大。当∠P和∠Q都等于30°时，立即就得到拿破仑定理（不过要将它重复两次）。【020527】黄路川问如下题：“已知：I是内心，D是A的对径点，且BE，CF的长均为半周长。求证：DI垂直于EF。”经探索：当A在外接圆上运动时，EF之包络是圆；若BE，CF长不等于半周长时，EF之包络是圆锥曲线。EF包络所形成的圆具体位置还值得继续探索，预感还会产生一些新的东西。【040227】当天晚上收到钟建国的一封E-mail，使我对三角形特殊点又有了一阵探索的兴趣。结论1三角形的Fermat点与它的等角共轭点的连线，必平行于Euler线。ABCOGHFJEFDICBA注：图中F是Fermat点（又称“等角中心”），它对于△ABC三边的视角都是120°；其等角共轭点J是△ABC的“等力点”（isodynamicpoint），其特性如下：它的垂足三角形是正△，它对于△ABC三边的视角分别是60°＋A，60°＋B，60°＋C，它是三个Apollonius圆所共之点，它到三角形的三个顶点距离之比与三边长度成反比，它在外心O和类似重心K的连线上（Brocard轴）。结论2三角形的每个旁心和相应边的中点连线一定共点，所共点位于重心及Gergonne点的连线上；三角形的每个旁心和相应边上的内切圆切点连线也一定共点，所共点既位于内、外心的连线上，又位于重心及Gergonne点的连线上。而且上述两个所共点是原三角形的一对等角共轭点。ABCINLDOI2I1I3MFEQPGGe注：图中I1，I2，I3是△ABC的旁心，L，M，N是各边中点，D，E，F是内切圆的切点。I1L，I2M，I3N所共之点记为P（在文献中称作“Mittonpunkt”，由Nagel于1836年引进），I1D，I2E，I3F所共之点记为Q（可称作“切聚点”，它是位于内、外心连线IO上的一个特殊点）。AD，BE，CF所共之点称为Gergonne点，在图中标为Ge。则P，Q都在重心G和Gergonne点的连线上，而且P，Q关于△ABC恰好等角共轭！结论3过完全四边形的六个交点各作一条Newton线的平行线，则每条平行线都是满足如下特性的轨迹——其上任意一点与相应交点所在直线上的两条线段所张成的三角形面积相等（这两条线段不以该交点为端点）。牛顿线DCBANMFELP注：图中P是过A所作的平行线上任意一点，则P点满足S△PBE＝S△PFD。其中，线段BE和FD称为完全四边形的一组“对节”（完全四边形共有六组对节）。结论4三角形的两个Fermat点连线和两个Napoleon点连线的交点是类似重心。ABCFEDOO3O2O1FNF'N'O'K注1：以△ABC的三边向形外作三个正三角形——△DCB，△EAC，△FBA，其中心记为O1，O2，O3。则AD，BE，CF所共之点称作△ABC的Fermat点(正等角中心)，记作F；AO1，BO2，CO3所共之点称作△ABC的Napoleon点，记作N。若三个正三角形改为向形内作（△D′BC，△E′CA，△F′AB，其中心记为O1′，O2′，O3′）。则AD′，BE′，CF′所共之点称作△ABC的第二Fermat点(负等角中心)，记作F′；AO1′，BO2′，CO3′所共之点称作△ABC的第二Napoleon点，记作N′。在《蚁迹寻踪》一书P.46提到ClarkKimberling的一个结果：“三角形的Fermat点、Napoleon点、外心三点共线；三角形的Fermat点、第二Napoleon点、九点圆心三点也共线。”即图中F，N，O共线，F，N′，O′共线（O′表示九点圆心）。事实上，三角形的第二Fermat点F′，第二Napoleon点N′，外心O三点也共线；三角形的第二Fermat点F′，Napoleon点N，九点圆心O′三点也共线；而且，FF′与NN′的交点正是△ABC的类似重心K！（见上图）注2：深入的探索表明，结论4与结论1有密切联系。下图中同时画出了Fermat点F，第二Fermat点F′，等力点J，第二等力点J′。此图给出了如下结论：（1）G，F，J′共线；G，F′，J共线。（2）GK，O′F′交于JF中点；GK，O′F交于J′F′中点。（3）OK，O′F，HF′共点；OK，O′F′，HF共点。由Schoute共轴圆系知，以OK为直径的圆（Brocard圆）与过J，J′两点的圆正交，由此易说明O，K；J，J′四点构成调和点列，即G（O，K；J，J′）构成调和线束。因此，要证明结论1，改为证明（1）G，F，J′共线以及（2）GK平分JF就可以了。Euler线ABCHFGOF'JMJ'O'M'K下图中又画出了Napoleon点N、第二Napoleon点N′。与结论4相结合，可推得如下进一步结论：“N，H，J共线；N′，H，J′也共线。”ABCHFF'OGO'KJJ'NN'结论5三角形的Mittonpunkt与Spieker点、垂心H三点共线。CBADEFHSpiekerMittonpunkt2004年2月27日晚探索得：三角形的Mittonpunkt与Spieker点、垂心H三点共线。结论6垂三角形DEF的垂心P与Spieker点Q，都在原三角形ABC的外心Ｏ与类似重心Ｋ的连线（Brocard轴）上。CBADEFOPKQ2004年2月27日晚探索得：垂三角形DEF的垂心P与Spieker点Q，都在原三角形ABC的外心Ｏ与类似重心Ｋ的连线（Brocard轴）上。结论7切点三角形DEF的九点圆心（图中标为P），与垂心H及Gergonne点Ge三点共线。CBAIHFEDGeP2004年2月27日晚探索得：切点三角形DEF的九点圆心（图中标为P），与垂心H及Gergonne点Ge三点共线。【040310】今在几何画板4.04版中创建了20个工具。但不知如何调整工具的次序。现象设△ABC中，外心为O，垂聚点为X，切聚点为Y。发现：∠OYX总是钝角。现象考虑Euler线的三线极点P。当A在外接圆上运动时，其轨迹是奇怪而漂亮的曲线——像拿破仑的帽子（轴对称！）。这曲线不久前似曾相识，但却想不起来了。现象当一条直线绕定点P旋转，其垂极点的轨迹是椭圆。考虑定点P和该椭圆的依赖关系（前年在钦州南路时曾考虑过，但未获实质性结论。当P取外心时，椭圆成为九点圆；当P在外接圆上时，椭圆变成Simson线，借此而得到一个三线共点的结论，曾给田廷彦做。后发现在梁绍鸿习题中有一个相关的题：“设H是△ABC的垂心，M，N是外接圆上两点，P是这两点的西摩松线的交点，K是H关于P的对称点。求证：△KMN的垂心L在的外接圆上，且L对于△ABC的西摩松线垂直于MN而通过P点。”复习题三№53）。今发觉：当且仅当P在△形内（外）时，P在椭圆形内（外）。问：P取什么点时，成为三角形的内切椭圆（有无可能性）？可退而考虑何时和三角形一边相切。猜想：当P和P′关于外接圆互为反演点时，所对应的椭圆离心率是一样的，甚至是位似的！【040312】2月26日考虑了如下图形：现象同时作已知△ABC的内接、外接三角形，使它们位似于所给三角形DEF。当△DEF旋转时，内、外接的两个位似三角形的位似中心（聚点）P的轨迹是二次曲线。而当E，F不动，仅仅D点运动时，P点的轨迹是一条直线。△D'E'F'用来控制形状PF2E2D2F1E1D1DD'E'F'FABC拖动点EABCPEuler线04031002POABCOYIXABC现象考虑如下习题：“过三角形ABC平面上某点P，作PA，PB，PC的垂线，分别与对边BC，CA，AB交于X，Y，Z点，则X，Y，Z三点一定共线。”今探索得当P在外接圆上时，所共线过外心。由此编成如下题目：题目设P是△ABC外接圆上任一点，作PA，PB，PC的垂线，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F点，则D，E，F和外心O四点共线。此题看来并非显然，今上午给田廷彦做，田看出这实际上是Pascal定理（对自交型圆内接六边形而言）。田说他近日得到如下简单结论：结论设BE，CF是△ABC的角平分线，则EF过重心G的充要条件是111bca。特别地，当∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3时（即∠A＝7，∠B＝27，∠C＝37），求证：G，E，F共线。这个结论用重心坐标很容易解释。现象考虑三角形ABC，当底边BC及外接圆固定，而A点在圆上移动时各种特殊点的轨迹。其中类似重心K、垂聚点X、切聚点Y都为椭圆；Spieker点，Mittonpunkt为两个8字曲线（当中那点恰重合！）；Brocard点像水珠形；而Napoleon点很复杂，就像拿破仑的帽子。类似重心，垂聚点，切聚点YXKABCSpieker点，MittonpunktSpMiCABBrocardABCNapoleon点N'NBCAFEDOABCP04031203GEFABC【040314】今用几何画板画“迭代”、“科赫雪花”及旋转的“正六面体”：【040319】前天晚上给出“非钝角三角形的外心至三边的距离和，等于外接圆与内切圆的半径和”（《梁绍鸿》复习题三№14）一题的另外一种纯几何证法。只需证Rt△BFD≌Rt△DJI。再注意MF方向即可。（在△EBC中，MF平行于∠E的平分线，根据阿基米德的结论，BF就等于EB＋EC之半，而EB＋EC正等于HB＋HC，即O到相应两边距离之和的两倍。）由此DJ等于O到AB，AC两边距离之和。现象记得90年代中期，陈计问我△ABC中，各边上长度分别为ppa，ppb，ppc的三条Ceva线是否共点？（陈计说用不等式易证aatppam。而长度为ppa的Ceva线有两条，上述Ceva线指的正是夹在中线和角平分线之间的那条。）我通过较烦的计算（算出它分相应边之比，然后再用Ceva定理）断定这三条Ceva线一般并不共点。而且还给出了一个有趣的几何解释：上述Ceva线恰垂直于以B，C为圆心，过A点的两圆的外公切线！（而这条垂线我在90年代初的笔记本上就已提到了。）（补注：昨晚用几何画板重新作图，表明这三条Ceva线的确是共点的，看来当时算错了，见下图。——04.3.21）04032001DABC04031901FEJDMOIABC今天重新考虑这个问题，又得到了一个新的进展：上述Ceva线将△ABC分成两个小三角形的内切圆恰好相等！田廷彦说这是1988年IMO的预选题（苏联提供），以前我们还曾讨论过，而且他在《阶梯奥数》中也写到了这题。钟建国也在E-mail中告诉了这题的来源。04031902MXTNMABC中午又得到一个新结论（但并不难证）：现象设AP是△ABC的任意一条Ceva线，则△APB，△APC的内切圆的另外一条内公切线一定经过△ABC的内切圆和底边BC的切点D！04031903I2I1DIABCP当△ABC是直角三角形（∠C＝90°），且CH⊥AB时，此图有很多特殊的性质（有两个常见题涉及此图：一是说斜边上的高CH等于这三个圆的半径和——此题曾作为1959年的基辅数学竞赛题（七年级）№297；一是说r12＋r22＝r2。前者只需利用直角三角形中r＝p－a，而后者相当于勾股定理）。作出⊙I1，⊙I2的另外一条外公切线MN。下图表明这时有很多相等的线段（PQ＝DH，EE1＝DD1＝D2H，FF1＝DD2＝D1H），并有六个三线共点（图中用虚线显示）。设高CH和外公切线MN的交点为L，则L到C，I1，I2三点等距；而且，这时LI1，LI2的方向也与直角边平行。04031904LDNMD2F1QI2PE1D1I1HFEICAB【040321】《初中数学竞赛辅导讲座》（上海科技出版社1987年版）杜锡录的讲座中有一道常见题：“设P为正三角形ABC外接圆BC弧上的任意一点，CP的延长线交AB的延长线于E点，