2015年第二轮复习 ：专题一 集合与常用逻辑用语、函数与导数 第5讲 导数及其应用

数学新课标版•二轮专题复习集合与常用逻辑用语、函数与导数专题一第五讲导数及其应用专题一这是高考的重点必考内容，一般命制一个大题或一大一小两个题．(1)导数的几何意义是高考考查的重点内容，常与解析几何的知识交汇命题，多以选择题、填空题的形式考查，有时也会出现在解答题中的关键一步．(2)利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的主要考点．(3)选择题、填空题侧重于利用导数确定函数的单调性和极值；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题．(4)(理)对定积分部分的考查以利用微积分基本定理求定积分和曲边平面图形面积为主，高考出题较少，一般是一个小题，有时也可能在大题中的一个问题中涉及．1．导数的定义f′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；②(xm)′＝mxm－1；③(sinx)′＝cosx;④(cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex;⑥(ax)′＝axlna；⑦(lnx)′＝1x；⑧(logax)′＝1xlna.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[fxgx]′＝f′xgx－fxg′xg2x.④(理)设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．(理)利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(ab)和y＝0所围成的曲边梯形的面积为S.①当f(x)0时，S＝abf(x)dx；②当f(x)0时，S＝－abf(x)dx；③当x∈[a，c]时，f(x)0；当x∈[c，b]时，f(x)0，则S＝acf(x)dx－cbf(x)dx.1．(sinx)′＝cosx与(cosx)′＝－sinx，(xn)′＝nxn－1(n∈N*)与(ax)′＝axlna(a0)，而(logax)′＝1xlna(a0且a≠1)，这是应用公式中易混易错的地方．2．求过某点的曲线的切线方程与求曲线在某点处的切线方程应区分．3．f(x)的极大(小)值与最大(小)值要区分；导数为零的点不一定是极值点．4．(理)曲边梯形的面积与定积分的关系．(文)曲线y＝xex＋2x－1在点(0，－1)处的切线方程为()A．y＝3x－1B．y＝－3x－1C．y＝3x＋1D．y＝－2x－1[答案]A[解析]k＝y′|x＝0＝(ex＋xex＋2)|x＝0＝3，∴切线方程为y＝3x－1，故选A.导数的几何意义(理)已知曲线y＝1x.(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1,0)的切线方程；(3)求满足斜率为－13的曲线的切线方程．[解析](1)∵y′＝－1x2.又P(1,1)是曲线上的点，∴P是切点，所求切线的斜率为k＝f′(1)＝－1.所以曲线在P点处的切线方程为y－1＝－(x－1)．即y＝－x＋2.(2)显然Q(1,0)不在曲线y＝1x上，则可设过该点的切线的切点为A(a，1a)，则该切线斜率为k1＝f′(a)＝－1a2.则切线方程为y－1a＝－1a2(x－a)．①将Q(1,0)代入方程①得0－1a＝－1a2(1－a)，解得a＝12，故所求切线方程为y＝－4x＋4.(3)设切点坐标为A(a，1a)，则切线的斜率为k2＝－1a2＝－13，解得a＝±3，∴A(3，33)或A′(－3，－33)．代入点斜式方程得y－33＝－13(x－3)或y＋33＝－13(x＋3)．即切线方程为x＋3y－23＝0或x＋3y＋23＝0.[点评](1)在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上．(2)过点Q的切线即切线过点Q，Q不一定是切点，所以本题的易错点是把点Q作为切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．若曲线y＝x3＋ax在坐标原点处的切线方程是2x－y＝0，则实数a＝________.[答案]2[解析]∵曲线y＝x3＋ax的切线斜率k＝y′＝3x2＋a，又曲线在坐标原点处的切线方程为2x－y＝0，∴3×02＋a＝2，故a＝2.[方法规律总结]1．求曲线y＝f(x)的切线方程的类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率为k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程．2．若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k＝f′(x0)求出切点坐标(x0，y0)，最后写出切线方程．(文)(2012·北京理，18)已知函数f(x)＝ax2＋1(a0)，g(x)＝x3＋bx.(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a、b的值；(2)当a2＝4b时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．[分析](1)运用导数的几何意义即可求解；(2)根据导函数的正负可求出函数的单调区间；根据导函数的零点与－1的关系分类讨论，求得函数的最值．利用导数研究函数单调性[解析](1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b.因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，所以f(1)＝g(1)，且f′(1)＝g′(1)．即a＋1＝1＋b，且2a＝3＋b.解得a＝3，b＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)．当b＝14a2时，h(x)＝x3＋ax2＋14a2x＋1，h′(x)＝3x2＋2ax＋14a2.令h′(x)＝0，得x1＝－a2，x2＝－a6.a0时，h(x)与h′(x)的变化情况如下表：x(－∞，－a2)－a2(－a2，－a6)－a6(－a6，＋∞)h′(x)＋0－0＋h(x)极大值极小值所以函数h(x)的单调递增区间为(－∞，－a2)和(－a6，＋∞)；单调递减区间为(－a2，－a6)．当－a2≥－1，即0a≤2时，函数h(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－1)＝a－14a2.当－a2－1，且－a6≥－1，即2a≤6时，函数h(x)在区间(－∞，－a2)内单调递增，在区间(－a2，－1]上单调递减，h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－a2)＝1.当－a6－1，即a6时，函数h(x)在区间(－∞，－a2)内单调递增，在区间(－a2，－a6)内单调递减，在区间(－a6，－1]上单调递增，又因h(－a2)－h(－1)＝1－a＋14a2＝14(a－2)20，所以h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为h(－a2)＝1.[点评]本题考查了切线、函数单调性、极值等基础知识，考查分类讨论的数学思想．本题是较常规的题目，学生一般都能掌握，难点在于第二问，两个极值点和最值的求解，对学生的概念理解要求很高，数学思维也要清晰，因此在复习中，应加大这方面的训练．(理)已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0，x∈R)为奇函数，且f(x)在x＝1处取得极大值2.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)记g(x)＝fxx＋(k＋1)lnx，求函数y＝g(x)的单调区间；(3)在(2)的条件下，当k＝2时，若函数y＝g(x)的图象在直线y＝x＋m的下方，求m的取值范围．[解析](1)f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．代入得b＝0.所以f′(x)＝3ax2＋c，且f(x)在x＝1取得极大值2.所以f′1＝0，f1＝2，⇔3a＋c＝0，a＋c＝2.解得a＝－1，c＝3，所以f(x)＝－x3＋3x.(2)因为g(x)＝－x2＋3＋(k＋1)lnx，所以g′(x)＝－2x＋(k＋1)·1x＝－2x2＋k＋1x.因为函数定义域为(0，＋∞)，所以①当k＝－1时，k＋1＝0，g′(x)＝－2x0，函数在(0，＋∞)上单调递减；②当k－1时，k＋10，因为x0，所以g′(x)＝－2x2＋k＋1x0.所以函数在(0，＋∞)上单调递减；③k－1时，k＋10，令g′(x)0，得－2x2＋k＋1x0，因为x0，所以－2x2＋(k＋1)0，即－k＋12xk＋12，结合x0，得0xk＋12；令g′(x)0，得－2x2＋k＋1x0，同上得2x2(k＋1)，xk＋12，所以k－1时，单调递增区间为(0，k＋12)，单调递减区间为(k＋12，＋∞)．综上，当k≤－1时，函数的单调递减区间为(0，＋∞)，无单调递增区间；当k－1时，函数的单调递增区间为(0，k＋12)，单调递减区间为(k＋12，＋∞)．(3)当k＝2时，g(x)＝－x2＋3＋3lnx，令h(x)＝g(x)－(x＋m)＝－x2－x＋3lnx＋3－m，h′(x)＝－2x－1＋3x，令h′(x)＝0，－2x2－x＋3x＝0，得x＝1，x＝－32(舍去)．由函数y＝h(x)定义域为(0，＋∞)知，当0x1时，h′(x)0，当x1时h′(x)0，所以当x＝1时，函数h(x)取得最大值1－m.要使函数y＝g(x)的图象在直线y＝x＋m的下方，则1－m0，所以m1.故m的取值范围是(1，＋∞)．(文)(2014·乌鲁木齐市诊断)已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是()A．0a34B.12a34C．a≥34D．0a12[答案]C[解析]解法1：当a＝1时，f(x)＝(x2－2x)ex，f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝ex(x2－2)，当－1≤x≤1时，x2－20，∴f′(x)0，∴f(x)在[－1,1]上是单调减函数，故排除A、B、D，故选C.解法2：f′(x)＝ex[x2＋2(1－a)x－2a]，∵f(x)在[－1,1]上单调递减，∴f′(x)≤0在[－1,1]上恒成立，令g(x)＝x2＋2(1－a)x－2a，则g1≤0，g－1≤0，∴a≥34.(理)(2014·海南省六校联盟第二次联考)已知函数f(x)＝1＋lnx＋1x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x0时，f(x)kx＋1恒成立，求整数k的最大值．[解析](1)由f(x)＝1＋lnx＋1x知x∈(－1,0)∪(0，＋∞)．∴f′(x)＝－1＋x＋1lnx＋1x2x＋1，令h(x)＝1＋(x＋1)ln(x＋1)，则h′(x)＝1＋ln(x＋1)，令h′(x)＝0，得x＝1e－1易得h(x)在(－1，1e－1)上递减，在(1e－1，＋∞)上递增．∴h(x)min＝h(1e－1)＝1－1e0，∴f′(x)0故f(x)的单调减区间为(－1,0)，(0，＋∞)．(2)当x0时，f(x)kx＋1恒成立，即kx＋1[1＋lnx＋1]