巧用定义求椭圆中四类最值问题(精)

巧用定义求椭圆中四类最值问题聂文喜圆锥曲线的定义既是推导圆锥曲线标准方程的依据，又是用来解决一些问题的重要方法，一般情况下，当问题涉及焦点或准线，且用其它方法不易求解时，可考虑运用定义求解，下面以椭圆为例归纳四类最值问题。一、的最值若A为椭圆内一定点（异于焦点），P是C上的一个动点，F是C的一个焦点，e是C的离心率，求的最小值。例1.已知椭圆内有一点A（2，1），F是椭圆C的左焦点，P为椭圆C上的动点，求的最小值。分析：注意到式中的数值“”恰为，则可由椭圆的第二定义知等于椭圆上的点P到左准线的距离。这种方法在本期《椭圆中减少运算量的主要方法》一文中已经介绍过，这里不再重复，答案为。二、的最值若A为椭圆C内一定点（异于焦点），P为C上的一个动点，F是C的一个焦点，求的最值。例2.已知椭圆内有一点A（2，1），F为椭圆的左焦点，P是椭圆上动点，求的最大值与最小值。解：如图1，设椭圆的右焦点为，可知其坐标为（3，0）图1由椭圆的第一定义得：可知，当P为的延长线与椭圆的交点时，最大，最大值为，当P为的延长线与椭圆的交点时，最小，最小值为。故的最大值为，最小值为。三、的最值若A为椭圆C外一定点，为C的一条准线，P为C上的一个动点，P到的距离为d，求的最小值。例3.已知椭圆外一点A（5，6），为椭圆的左准线，P为椭圆上动点，点P到的距离为d，求的最小值。解：如图2，设F为椭圆的左焦点，可知其坐标为图2根据椭圆的第二定义有：，即可知当P、F、A三点共线且P在线段AF上时，最小，最小值。故的最小值为10。四、椭圆上定长动弦中点到准线距离的最值例4.定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。解：设F为椭圆的右焦点，如图3，作于A”，BB”⊥于B”，MM”⊥于M”图3则当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为。评注：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB能过焦点的充要条件。