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当前位置:首页 > 临时分类 > 高一数学一次函数和二次函数知识点
1、1第5讲一次函数和二次函数教学内容一、知识梳理1.函数)0(kbkxy叫做一次函数,它的定义域是R,值域是R;(1)一次函数的图象是直线,所以一次函数又叫线性函数;(2)一次函数)0(kbkxy中,k叫直线的斜率,b叫直线在y轴上的截距;0k时,函数是增函数,0k时,函数是减函数;(3)0b时该函数是奇函数且为正比例函数,直线过原点;0b时,它既不是奇函数,也不是偶函数;4.函数)0(2acbxaxy叫做二次函数,它的定义域为是R,图象是一条抛物线;(1)当b0时,该函数为偶函数,其图象关于y轴对称;(2)当0a时,抛物线cbxaxy2开口向上,二次函数的单调减区间为ab2,,单调增区间为,2ab,值域为,442abac;课时数量2课时(120分钟)适用的学生水平☐优秀☐中等☐基础较差教学目标(考试要求)掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征;学会用配方法研究二次函数的性质;会运用待定系数法解题,理解二次函数的图象与系数a、b、c及一元二次方程两根、判别式之间的联系,并运用其性质解决有关问题.教学重点、难。
2、点重点:一次函数和二次函数的性质及图象特征.难点:二次函数的性质运用.建议教学方法寓教于练,重在点拨√2(3)当0a时,抛物线cbxaxy2开口向下,二次函数的单调增区间为ab2,,单调减区间为,2ab,值域为abac44,2;5.一次函数的图像与性质二、方法归纳1.二次函数的三种表示形式(1)一般式:)0(2acbxaxy.(2)顶点式:)0()(2ahmxay,其中),(hm为抛物线的顶点坐标.(3)两根式:)0())((21axxxxay,其中1x、2x是抛物线与x轴交点的横坐标.2.利用配方法求二次函数)0(2acbxaxy的对称轴方程为:x=-ab2.3.若二次函数)0()(2acbxaxxf对应方程)(xf=0的两根为1x、2x,那么函数)0()(2acbxaxxf图象的对称轴方程为:提示二次函数图象的对称轴与x轴的交点是函数单调区间的界,在x轴上,与对称轴等距离的点的函数值相等.3x=221xx=-ab2.4.用待定系数法求解析式时,要注意函数对解析式的要求,一。
3、次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等;要应视具体问题,灵活地选用其形式,再根据题设条件列方程组,确定其系数.三、典型例题精讲[例1]二次函数bxaxy2和反比例函数byx在同一坐标系中的图象大致是()解析:由题义0a,方程bxax2=0的两根为01x、abx2.观察备选答案ABC中反比例函数byx的图象,知b>0,答案A中0a,abx2>0,矛盾;答案B中0a,abx2>0,正好,故选B.【技巧提示】根据函数的图象确定函数解析式中的参数,需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等.又例:已知二次函数babxaxxf3)(2为偶函数,其定义域为aa2,1,则函数的值域为.解析:由题意,a≠0,b=0,且)1(2aa,∴a=31,函数131)(2xxf的值域为,1.[例2]对于每一个x,设)(xf取14xy,2xy,42xy三个函数中的最小值,用分段函数写出)(xf的解析式,并求)(xf的最大值.解析:这是教材中的一道练习题.)(xf取14xy,2xy,42xy三个函数中。
4、的最小值.于是)(xf的解析式为A.xyOB.xyOC.xyOD.xyO432,423231,231,14)(xxxxxxxf,)(xf的最大值为)32(f=38.【技巧提示】理解)(xf取14xy,2xy,42xy三个函数中的最小值的含义,用分段函数写出)(xf的解析式是关键.又例:对于任意Rx,函数xf表示3x,2123x,342xx中的较大者,则xf的最小值是__(答案:2)[例3]二次函数xf满足22xfxf,又30f,12f,若在[0,m]上有最大值3,最小值1,则m的取值范围是()A.,0B.,2C.2,0D.[2,4]解析:由22xfxf知函数)(xfy的图象关于直线x=2对称,又30f,12f,图象如下,由m,0上有最大值3,最小值1,可知m的取值范围是4,2,故选D.【技巧提示】函数xf满足xafxaf,则)(xfy的图象关于直线x=a对称,其中xafxaf也可用xfx。
5、af2代替;数形结合可以使解法更加便捷.又例:已知二次函数)(xfy满足)()6(xfxf(x∈R),且)(xf=0Oxy14xy2xy42xyOxy3215有两个实根1x、2x,则1x+2x等于()A.0B.3C.6D.不能确定解析:由)6()(xfxf(x∈R)知函数)(xfy的图象关于直线x=3对称,应有3221xx,1x+2x=6.答案:C再例:函数432xxy的定义域为m,0,值域为4,425,则实数m的取值范围是解析:函数425)23(43)(22xxxxf,又4)3()0(ff,)(xf的最小值为425,∴实数m的取值范围是3,32.[例4]抛物线23)1(2kxkxy与x轴交于点)0,(),0,(两点且1722.求k的值.解析:由题意,是方程023)1(2kxkx的两根,∵,1k23k,又1722即172)(2,∴17)23(2)1(2kk,解得21k,62k.当21k时△>0,当62。
6、k时△<0(舍去)∴2k.【技巧提示】抛物线与x轴交于点的横坐标是二次函数)(xf所对应的方程)(xf=0的根,一元二次方程根与系数的关系及判别式△,是解答本题的重要基础知识.又例:如果二次函数772xkxy的图象和x轴有交点,则k的取值范围是()A.k>-47B.k≥-47且k≠0C.k≥-47D.k>-47且k≠06解析:注意数学语言转换,“二次函数”意味着“k≠0”;“图象和x轴有交点”等价于△≥0.答案:B[例5]已知函数)(xf=x2+mx+n的图象过点(1,3),且)1(xf=)1(xf对任意实数都成立,函数y=)(xg与y=)(xf的图象关于原点对称.求)(xf与)(xg的解析式.解析:由)1(f=3,且函数)(xf的图象关于直线x=-1对称,先求)(xf,再由对称性求)(xg.由题意知:1231mnm,解得2m,0n∴xxxf2)(2.设函数y=)(xf图象上的任意一点Q(x0,y0)关于原点的对称点为P(x,y),则x0=-x,y0=-y.∵点Q(x0,y0)在y=)(xf的图象上,∴-y=xx22,∴y=xx22。
7、,∴)(xg=xx22.又例:已知二次函数)(xf满足)2(f=-1,)1(f=-1,且)(xf的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解析:用待定系数法解法一:利用二次函数一般式,设)0()(2acbxaxxf,由题意得84411242abaccbacba解之得744cba∴所求二次函数为744)(2xxxf.解法二:利用二次函数顶点式,设nmxaxf2)()(,7∵)2(f=)1(f=-1,∴抛物线对称轴方程为x=m21.∴21m,又根据题意函数有最大值为8n,∴8)21()(2xaxf∵)1(f=-1,∴4a∴8)21(4)(2xxf7442xx.解法三:利用两根式由已知,)(xf+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设)(xf+1=a(x-2)(x+1),即)(xf=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即aaaa4)12(42=8,解之得a=-4或a=0(舍),∴所求函数解析式为)(xf=7442xx.[例6]已知二次函数)(x。
8、f满足1)0(f和)1(xfxxf2)(.(1)求)(xf的解析式;(2)求)(xf在1,1上的最大值和最小值.解析:(1)用待定系数法∵1)0(f,设所求二次函数为)(xf)0(12abxax,提示在中学数学中常用的数学解题通法有换元法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、特殊值法.透过这些方法体会数学思想,包括:转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。近几年高考数学试题坚持新题不8由题意,有1)1()1()()1(2xbxaxfxf)1(2bxaxx2即xbaax22对任何都成立.∴1a,1b即1)(2xxxf.(2)配方,得43)21(1)(22xxxxf,根据函数图象可知43)21()(minfxf,3)1()(maxfxf.【技巧提示】配方法和待定系数法是初中已经接触过的最常见的数学方法,属于通法.要求熟练掌握,灵活运用.[例7]函数32)(2xxmxf,若函数)(xf在]3,(上是减函数,则实数m的取值范围是.解析:由32)(2xxmxf得函数3)(2)。
9、()(2mxmxxf32)1(222mmxmx.再由)(xf在]3,(上是减函数,得2)1(2m≥3∴m≤-2.答案:m≤-2.另解:由函数)(xf在]3,(上是减函数,知32)(2xxmxf在]3,(m上是减函数,于是,有m3122,∴m≤-2.【技巧提示】牢牢掌握二次函数图象的对称轴是二次函数单调性的界这一特征.二次函数)(xf在],(m单调,则mab2,其余类推.又例:已知函数1)2(22xaxy在)4,(上单调递减,则实数a的取值范围是.解析:由题意,有42)2(2a,∴a≤-2.答案:a≤-2.难、难题不怪的命题方向,强调“注意通性通法,淡化特殊技巧”.9四、课后训练1.函数)1(5)10(3)0(32xxxxxxy的最大值是________2.已知5mxy和nxy的图象关于直线xy对称,则nm3.若函数12)(aaxxf的值在区间1,1上有正也有负,则实数a的范围是_____________.4.函数162)(2xxxf在区间[-1。
10、,1]上的最小值是___,最大值是_____.5.若二次函数22)(22mmxxxf的图象的对称轴方程为x=1,则m____________,顶点坐标为___________,单调递增区间为____________.6.抛物线)0(2acbxaxy的对称轴是x=2,且经过点)0,3(P.则abc的值为()A.1B.0C.1D.27.若函数3)2(2xaxy,],[bax的图象关于直线1x对称,求b的值.8.已知二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点为)0,3(),0,1(,其形状与抛物线22xy相同,求cbxaxy2的解析式.9.已知22444)(aaaxxxf在区间[0,1]内有最大值-5,求a的值10.已知函数5)(2axxxf满足)2()2(xfxf,若],0[mx时,函数]5,1[)(xf,求实数m的取值范围.五、参考答案1.42.-43.311a4.-395.-1,(1,-4),),16.B7.68.解析:由题意,直接得)3)(1(2xxy,即6422xxy.109.。
本文标题:高一数学一次函数和二次函数知识点
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