高一数学一次函数和二次函数知识点

1、1第5讲一次函数和二次函数教学内容一、知识梳理1.函数)0(kbkxy叫做一次函数，它的定义域是R，值域是R；（1）一次函数的图象是直线，所以一次函数又叫线性函数；（2）一次函数)0(kbkxy中，k叫直线的斜率，b叫直线在y轴上的截距；0k时，函数是增函数，0k时，函数是减函数；（3）0b时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0b时，它既不是奇函数，也不是偶函数；4.函数)0(2acbxaxy叫做二次函数，它的定义域为是R，图象是一条抛物线；（1）当b0时，该函数为偶函数，其图象关于y轴对称；（2）当0a时，抛物线cbxaxy2开口向上，二次函数的单调减区间为ab2,，单调增区间为,2ab，值域为,442abac；课时数量2课时（120分钟）适用的学生水平☐优秀☐中等☐基础较差教学目标（考试要求）掌握一次函数和二次函数的性质及图象特征；学会用配方法研究二次函数的性质；会运用待定系数法解题，理解二次函数的图象与系数a、b、c及一元二次方程两根、判别式之间的联系，并运用其性质解决有关问题．教学重点、难。

2、点重点：一次函数和二次函数的性质及图象特征．难点：二次函数的性质运用．建议教学方法寓教于练，重在点拨√2（3）当0a时，抛物线cbxaxy2开口向下，二次函数的单调增区间为ab2,，单调减区间为,2ab，值域为abac44,2；5.一次函数的图像与性质二、方法归纳1.二次函数的三种表示形式（1）一般式：)0(2acbxaxy．（2）顶点式：)0()(2ahmxay，其中),(hm为抛物线的顶点坐标．（3）两根式：)0())((21axxxxay，其中1x、2x是抛物线与x轴交点的横坐标．2.利用配方法求二次函数)0(2acbxaxy的对称轴方程为：x＝－ab2．3.若二次函数)0()(2acbxaxxf对应方程)(xf＝0的两根为1x、2x，那么函数)0()(2acbxaxxf图象的对称轴方程为：提示二次函数图象的对称轴与x轴的交点是函数单调区间的界，在x轴上，与对称轴等距离的点的函数值相等．3x＝221xx＝－ab2．4.用待定系数法求解析式时，要注意函数对解析式的要求，一。

3、次函数、正比例函数、反比例函数的比例系数、二次函数的二次项系数等；要应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，确定其系数．三、典型例题精讲［例1］二次函数bxaxy2和反比例函数byx在同一坐标系中的图象大致是（）解析：由题义0a，方程bxax2＝0的两根为01x、abx2．观察备选答案ABC中反比例函数byx的图象，知b＞0，答案A中0a，abx2＞0，矛盾；答案B中0a，abx2＞0，正好，故选B．【技巧提示】根据函数的图象确定函数解析式中的参数，需要考查其单调性、奇偶性、对称轴、根的符号等．又例：已知二次函数babxaxxf3)(2为偶函数，其定义域为aa2,1，则函数的值域为．解析：由题意，a≠0，b＝0，且)1(2aa，∴a＝31，函数131)(2xxf的值域为,1．［例2］对于每一个x，设)(xf取14xy，2xy，42xy三个函数中的最小值，用分段函数写出)(xf的解析式，并求)(xf的最大值．解析：这是教材中的一道练习题．)(xf取14xy，2xy，42xy三个函数中。

4、的最小值．于是)(xf的解析式为Ａ．xyOＢ．xyOＣ．xyOＤ．xyO432,423231,231,14)(xxxxxxxf，)(xf的最大值为)32(f＝38．【技巧提示】理解)(xf取14xy，2xy，42xy三个函数中的最小值的含义，用分段函数写出)(xf的解析式是关键．又例：对于任意Rx，函数xf表示3x，2123x，342xx中的较大者，则xf的最小值是__（答案：2）［例3］二次函数xf满足22xfxf，又30f，12f，若在[0，m]上有最大值3，最小值1，则m的取值范围是()A.,0B.,2C.2,0D.[2,4]解析：由22xfxf知函数)(xfy的图象关于直线x＝2对称，又30f，12f，图象如下，由m,0上有最大值3，最小值1，可知m的取值范围是4,2，故选D．【技巧提示】函数xf满足xafxaf，则)(xfy的图象关于直线x＝a对称，其中xafxaf也可用xfx。

5、af2代替；数形结合可以使解法更加便捷．又例：已知二次函数)(xfy满足)()6(xfxf(x∈R)，且)(xf＝0Oxy14xy2xy42xyOxy3215有两个实根1x、2x，则1x＋2x等于()A．0B．3C．6D．不能确定解析：由)6()(xfxf(x∈R)知函数)(xfy的图象关于直线x＝3对称，应有3221xx，1x＋2x＝6.答案：C再例：函数432xxy的定义域为m,0，值域为4,425，则实数m的取值范围是解析：函数425)23(43)(22xxxxf，又4)3()0(ff，)(xf的最小值为425，∴实数m的取值范围是3,32．［例4］抛物线23)1(2kxkxy与x轴交于点)0,(),0,(两点且1722.求k的值.解析：由题意,是方程023)1(2kxkx的两根，∵,1k23k，又1722即172)(2，∴17)23(2)1(2kk，解得21k，62k．当21k时△＞0，当62。

6、k时△＜0（舍去）∴2k．【技巧提示】抛物线与x轴交于点的横坐标是二次函数)(xf所对应的方程)(xf＝0的根，一元二次方程根与系数的关系及判别式△，是解答本题的重要基础知识．又例：如果二次函数772xkxy的图象和x轴有交点，则k的取值范围是()A．k＞－47B．k≥－47且k≠0C．k≥－47D．k＞－47且k≠06解析：注意数学语言转换，“二次函数”意味着“k≠0”；“图象和x轴有交点”等价于△≥0．答案：B［例5］已知函数)(xf＝x2＋mx＋n的图象过点(1，3)，且)1(xf＝)1(xf对任意实数都成立，函数y＝)(xg与y＝)(xf的图象关于原点对称．求)(xf与)(xg的解析式．解析：由)1(f＝3，且函数)(xf的图象关于直线x＝－1对称，先求)(xf，再由对称性求)(xg．由题意知：1231mnm，解得2m，0n∴xxxf2)(2．设函数y＝)(xf图象上的任意一点Q(x0，y0)关于原点的对称点为P(x，y)，则x0＝－x，y0＝－y.∵点Q(x0，y0)在y＝)(xf的图象上，∴－y＝xx22，∴y＝xx22。

7、，∴)(xg＝xx22．又例：已知二次函数)(xf满足)2(f＝－1，)1(f＝－1，且)(xf的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．解析：用待定系数法解法一：利用二次函数一般式，设)0()(2acbxaxxf，由题意得84411242abaccbacba解之得744cba∴所求二次函数为744)(2xxxf．解法二：利用二次函数顶点式，设nmxaxf2)()(，7∵)2(f＝)1(f＝－1，∴抛物线对称轴方程为x＝m21.∴21m，又根据题意函数有最大值为8n，∴8)21()(2xaxf∵)1(f＝－1，∴4a∴8)21(4)(2xxf7442xx.解法三：利用两根式由已知，)(xf＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设)(xf＋1＝a(x－2)(x＋1)，即)(xf＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即aaaa4)12(42＝8，解之得a＝－4或a＝0(舍)，∴所求函数解析式为)(xf＝7442xx.［例6］已知二次函数)(x。

8、f满足1)0(f和)1(xfxxf2)(.（1）求)(xf的解析式；（2）求)(xf在1,1上的最大值和最小值．解析：（1）用待定系数法∵1)0(f，设所求二次函数为)(xf)0(12abxax，提示在中学数学中常用的数学解题通法有换元法、配方法、待定系数法、参数法、消元法、特殊值法．透过这些方法体会数学思想，包括：转化思想、方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等。近几年高考数学试题坚持新题不8由题意，有1)1()1()()1(2xbxaxfxf)1(2bxaxx2即xbaax22对任何都成立．∴1a，1b即1)(2xxxf．（2）配方，得43)21(1)(22xxxxf，根据函数图象可知43)21()(minfxf，3)1()(maxfxf．【技巧提示】配方法和待定系数法是初中已经接触过的最常见的数学方法，属于通法．要求熟练掌握，灵活运用．［例7］函数32)(2xxmxf，若函数)(xf在]3,(上是减函数，则实数m的取值范围是．解析：由32)(2xxmxf得函数3)(2)。

9、()(2mxmxxf32)1(222mmxmx．再由)(xf在]3,(上是减函数，得2)1(2m≥3∴m≤－2．答案：m≤－2．另解：由函数)(xf在]3,(上是减函数，知32)(2xxmxf在]3,(m上是减函数，于是，有m3122，∴m≤－2．【技巧提示】牢牢掌握二次函数图象的对称轴是二次函数单调性的界这一特征．二次函数)(xf在],(m单调，则mab2，其余类推．又例：已知函数1)2(22xaxy在)4,(上单调递减，则实数a的取值范围是．解析：由题意，有42)2(2a，∴a≤－2．答案：a≤－2．难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”．9四、课后训练1．函数)1(5)10(3)0(32xxxxxxy的最大值是________2．已知5mxy和nxy的图象关于直线xy对称，则nm3．若函数12)(aaxxf的值在区间1,1上有正也有负，则实数a的范围是_____________．4．函数162)(2xxxf在区间[－1。

10、,1]上的最小值是___，最大值是_____．5．若二次函数22)(22mmxxxf的图象的对称轴方程为x＝1，则m____________，顶点坐标为___________，单调递增区间为____________．6．抛物线)0(2acbxaxy的对称轴是x＝2，且经过点)0,3(P．则abc的值为（）Ａ．1Ｂ．0Ｃ．1Ｄ．27．若函数3)2(2xaxy，],[bax的图象关于直线1x对称，求b的值．8．已知二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点为)0,3(),0,1(，其形状与抛物线22xy相同，求cbxaxy2的解析式．9．已知22444)(aaaxxxf在区间［0，1］内有最大值-5，求a的值10．已知函数5)(2axxxf满足)2()2(xfxf，若],0[mx时，函数]5,1[)(xf，求实数m的取值范围．五、参考答案1．42．－43．311a4．－395．－1，（1，－4），),16．B7．68．解析：由题意，直接得)3)(1(2xxy，即6422xxy．109．。