正余弦型函数图像性质

正余弦型函数的图像性质正弦型函数BxAy)sin(的图像与性质是三角函数的绝对重要内容，在考查三角函数性质时，我们总习惯进行三角恒等变换（如降幂公式，幅角公式），将已知函数转化为BxAy)sin(形式，因此这里专题介绍正弦型函数BxAy)sin(的图像与性质的求法：知识点睛一：正弦型函数BxAy)sin()0,0(A的图像方法一：先平移变换后伸缩变换平移变换：将图像向左或向右平移个单位，得到的图像；伸缩变换：纵坐标不变，将图像上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍，得到的图像，此时函数周期为(注意：伸缩变换只会改变x的系数)振幅变换：横坐标不变，将图像上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍，得到的图像，此时函数的值域为],[AA方法二：先伸缩变换后平移变换伸缩变换：纵坐标不变，将图像上所有点的横坐标缩短或伸长到原来的倍，所得函数的图像，此时函数的周期为；平移变换：将图像向左或向右平移个单位，得到的图像(注意：左右平移变换时要看发生在自变量上的变化)振幅变换：同上【例1】怎么由函数)3sin(xy的图像变换到函数)322sin(xy的图像解析：方法一：先平移变换后伸缩变换先将函数)3sin(xy的图像向左平移3个单位，再将所得的图像上所有点的横坐标变到原来的21倍(纵坐标不变)，得到函数)322sin(xy的图像方法二：先伸缩变换后平移变换先将函数)3sin(xy的图像上所有点的横坐标变为原来的21倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移6个单位，得到函数)322sin(xy的图像xysin)0()0()sin(xy)sin(xy)1()10(1)sin(xy2T)sin(xy)1(A)10(AA)sin(xAyxysin)1()10(1xysin2Txysin)0()0()sin(xyx（要注意写成集合形式）【例2】要得到)32sin(xy的图像，只需将函数)62sin(xy的图像()A．向左平移4单位B．向左平移2单位C．向右平移4单位D．向右平移2单位解析：]6)4(2sin[)622sin()32sin(xxxy，故选C知识点睛二：正弦型函数BxAy)sin()0,0(A的性质总结最值：当1)sin(x时，y取到最大值BA；当1)sin(x时，y取到最小值BA单调性：根据复合函数单调性的“同增异减”原则，不难理解函数的单调性求法令可求得函数BxAy)sin(的单调增区间；令可求得函数BxAy)sin(的单调减区间周期：最小正周期是对称性：函数BxAy)sin(的图像仍然是波形图，它有无数条对称轴和无数个对称中心令，可求得函数的所有对称轴；令，可求得函数的所有对称中心(注意：与函数BxAy)sin(有关的奇偶性问题可利用对称性结论解决)【例3】已知函数23)62sin()(xxf，(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的最小值，并求函数取得最小值时的的集合；(3)求函数在区间上的最小值；(4)求函数的单调增区间；(5)求函数)(xf在区间上的单调增区间；(6)求函数的所有对称轴和对称中心；(7)函数的图像可以由函数，的图像经过怎样的变换得到；解析：通过这一题就能基本掌握三角函数性质问题的解法，同学要注意第（3）（5）小题的做法，做题不在多，关键要做出效率(1)函数的最小正周期22T(2)当且仅当2262kx，即3kx，Zk时，函数)(xf取到最小值21231此时x的集合为},3|{Zkkxx)sin(xAy22kx22k22kx232k2T1)sin(0x0xx0)sin(0x),(0BxRx)(xf)(xf)(xfx)(xf]4,4[)(xf]4,4[)(xf)(xfxy2sinRx)(xf(3)∵]4,4[x，∴]32,3[62x，∴当362x时，函数)(xf取到最小值233(4)令22k62x22k)(Zk，解得63kxk，Zk∴函数)(xf的单调增区间为]6,3[kk，Zk(5)∵]4,4[x，∴]32,3[62x，令]2,3[62x，解得]6,4[x∴函数)(xf在区间]4,4[上的单调增区间为]6,4[(6)令1)62sin(x得262kx，即62kx，Zk∴函数)(xf的对称轴为62kx，Zk令0)62sin(x得kx62，即122kx，Zk∴函数)(xf的对称中心为)23,122(k，Zk(7)将函数xy2sin的图像向左平移12个单位，得到)62sin(xy的图像，再将所得图像向上平移23个单位，就得到函数23)62sin(xy的图像。【例4】(1)函数)2sin()(xxf)0(是R上的偶函数，则的值是_______(2)已知函数)3sin()(xxf的最小正周期为,则函数)(xf的图像()A．关于)0,3(对称B．关于3x对称C．关于)0,4(对称D．关于3x对称(3)若函数)2cos(3xy的图像关于点)0,34(中心对称，那么的最小值为_______解析：（1）由题意，1sin)0(f，又∵0，∴2选B（2）由题意，1)1(22)4(2aaf，即1)1(2122aa，解得1a（3）由题意，0)38cos(，即238k，解得613k当2k时，取到最小值6，选A【例5】已知函数)3sin()(xxf)0(，)3()6(ff，且)(xf在区间)3,6(上有最小值，无最大值，则________解析：由题意，4x是函数)(xf的一条对称轴，且1)34sin()4(f，即2234k，解得3108k，Zk又∵21243T，∴62T，即120故当1k时3143108