正余弦定理-实际问题应用举例

1.2应用举例第一章解三角形学习目标1.熟记正弦定理、余弦定理、余弦定理的推论、三角形面积公式;2.会用正弦定理、余弦定理及有关结论求解距离、角度、高度等问题.重点难点重点:解三角形在实际中的应用;难点:把实际问题中的条件和所求转化为三角形中的已知和未知的边角,建立数学模型求解.1.现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？(例如：测山高，楼高，塔高)今天我们就来共同探讨这些方面的问题.2.在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？一、基本概念解斜三角形中的有关名词、术语：（1）坡度：斜面与地平面所成的角度。（2）仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角。（3）方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角。如：西偏北（4）方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的夹角。(5)基线：在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线．3．(1)山下B点望山上A点仰角为30°，则山上A点望山下B点俯角为______．(2)方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．若水平面上点A处测得点B的方位角是120°，则点B在点A东偏南______方向上．1．若水平面上点B在点A南偏东30°方向上，则点A处测得点B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°练习题例.在三角形ABC中，AC=55m，∠BAC＝51o，∠ACB＝75o求：A、B两点间的距离（只要求化简，不计算）二、应用举例答：A,B两点间的距离约为米。ABC探究（1）：一个不可到达点的距离测量（一）测量----距离思考：设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A的同侧，应如何设计测量方案计算A、B两点的距离？在A所在的河岸边选定一点C，测出例1：如图：CD=，并测得∠ACB=75°∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°．A、B、C、D在同一个平面内，则A、B间的距离为多少？探究（2）：两个不可到达点的距离测量3ABCDABCD思考2：一般地，若A，B为不可到达点，应如何设计测量方案计算A、B两点的距离？变式：两灯塔A，B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在C北偏东30°，B在C南偏东60°，则A,B之间相距多少km？探究（一）：利用仰角测量高度思考1：设AB是一个底部不可到达的竖直建筑物，A为建筑物的最高点，在水平面上取一点C，可以测得点A的仰角，若计算建筑物AB的高度，还需解决什么问题？CAB高度测量问题思考2：取水平基线CD，只要测量出哪些数据就可计算出AC的长？CABD思考3：设在点C、D出测得A的仰角分别为α、β，CD=a，测角仪器的高度为h，那么建筑物高度AB的计算公式是什么？CABDsinsinsinsin()aABAChhabaab=+=+-例2：为测量某塔AB的高度，在一栋与塔AB相相距20m的楼的楼顶处测的得塔顶A的仰角为30°，测的塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m?（二）测量----高度变式：D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于（）米A．100B.50√3C．50（√3+1）D．50（√3-1）例3：某巡逻艇在A处发现北偏东45º相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75º的方向以10海里/小时的速度逃窜.巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追击，问巡逻应该沿什么方向去追？需要多少时间才追上该走私船？°（三）测量----角度变式：甲乙两船同时从B点出发，甲船一每小时10(√3+1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南偏东60°航行，1小时后甲乙两船分别到达A，C两点，求：A，C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角。1.解三角形应用题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图.(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的数学模型.(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解.四、小结实际问题抽象概括示意图数学模型推理演算数学模型的解实际问题的解还原说明2.实际问题处理方法探究（1）：利用仰角（二）测量----高度sinsinsinsin()CDADCaACCADABAEhsinAChsinsinsin()ah例3.如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑的最高点，试设计一种测量建筑物高度AB的方法。解：选择一条水平基线HG，使H、G、B三点在同一条直线上。在H、G两点用测角仪器测得A的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是h，那么，在△ACD中，根据正弦定理可得例4.在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54°40′，在塔底C处测得A处的俯角=50°1′。已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD(精确到1m)解：依题意可知，在△ABC中，∠ABC=90o-，∠BAD=，∠CAD=∴∠BAC=-∵根据正弦定理，sinsinBCACBACABCsinsin(90)cossinsin()sin()BCABCBCBCACBACABCD探究（2）：利用俯角''''sincossinsin()27.3cos5440sin501sin(5440501)150()CDACCADBCm答：山的高度约为150米。∵在Rt△ACD中，ABCD一、例题