正余弦定理

课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升[归纳知识整合]1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＝asinA＝bsinB＝csinCa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝2RsinA，b＝，c＝②sinA＝a2R，sinB＝，sinC＝(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝b2＋c2－a22bccosB＝cosC＝2RsinB2RsinCsinA∶sinB∶sinCa2＋c2－b22aca2＋b2－c22abb2Rc2R课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升定理正弦定理余弦定理解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升[探究]1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？提示：“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，“A＞B”是“cosA＜cosB”的充要条件．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升[探究]2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例)提示：∵cosA与b2＋c2－a2同号，∴当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形；当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升[自测牛刀小试]1．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b=__________.解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即b2＝4＋16－8＝12，所以b＝23.答案：23课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升2．(教材习题改编)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB=__________.解析：∵asinA＝bsinB，∴15sin60°＝10sinB，∴sinB＝23×32＝33.又∵a＞b，A＝60°，∴B＜60°，∴cosB＝1－sin2B＝63.答案：63课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升3．△ABC中，a＝5，b＝3，sinB＝22，则符合条件的三角形有_______个解析：∵asinB＝102，∴asinBb＝3a＝5，∴符合条件的三角形有2个．答案：2课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为________．解析：∵cosC＝13，∴sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.答案：43课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升解析：由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA＝12，∴A＝30°或A＝150°.5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asinB，则角A的大小为________．答案：30°或150°课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升利用正、余弦定理解三角形[例1](·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升[自主解答](1)由bsinA＝3acosB及正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝3cosB，所以tanB＝3，所以B＝π3.(2)由sinC＝2sinA及asinA＝csinC，得c＝2a.由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得9＝a2＋c2－ac.所以a＝3，c＝23.课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升———————————————————————————————————————————正余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升解：(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB，即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)．又因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升(2)由sinCsinA＝2得c＝2a.由余弦定理及cosB＝14得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，从而a＝1.因此b＝2.课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升利用正、余弦定理判断三角形的形状[例2]在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．解∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2sinAcosB·b2＝2cosAsinB·a2，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.法一：由正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinA·sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2＋c2－a22bc＝b2aa2＋c2－b22ac，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰或直角三角形．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升—————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.(1)边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等；(2)角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等.2.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC.解：∵2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∴A＝60°.(1)求角A的大小；(2)若sinB＋sinC＝3，试判断△ABC的形状．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升(2)∵A＋B＋C＝180°，∴B＋C＝180°－60°＝120°.由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，∴sinB＋sin120°cosB－cos120°sinB＝3.∴32sinB＋32cosB＝3，即sin(B＋30°)＝1.又∵0°＜B＜120°，30°＜B＋30°＜150°，∴B＋30°＝90°，即B＝60°.∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升———————————————————————————————————————————三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升3．(2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.解：(1)由acosC＋3asinC－b－c＝0及正弦定理得sinAcosC＋3sinAsinC－sinB－sinC＝0.因为B＝π－A－C，所以3sinAsinC－cosAsinC－sinC＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升由于sinC≠0，所以sinA－π6＝12.又0＜A＜π，故A＝π3.(2)△ABC的面积S＝12bcsinA＝3，故bc＝4.而a2＝b2＋c2－2bccosA，故b2＋c2＝8.解得b＝c＝2.课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升1条规律——三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升2种途径——判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．2个防范——解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.课后巩固作业课前新知初探课堂互动探究基础自主演练规范警示提升[答题模板速成]解决解三角形问题一般可用以下几步解答：第一步边角互化利用正弦定理或余弦定理实现边角互化；(本题为边化角)⇒第二步三角变换