87第四章 恒定电流场

第四章恒定电流场电流电动势恒定电流场的方程恒定电流场的边界条件导电介质的损耗分类：传导电流与运流电流。传导电流是导体中的自由电子（或空穴）或者是电解液中的离子运动形成的电流。运流电流是电子、离子或其它带电粒子在真空或气体中运动形成的电流。§4-1电流电流是电荷的有规则运动。电流强度：单位时间内穿过某一截面的电荷量，又简称为电流，以I表示。电流的单位为A（安培）。因此，电流I与电荷q的关系为tqIdd穿过任一有向面元dS的电流dI与电流密度J的关系为SJddI电流密度：是一个矢量，以J表示。空间中任一点的电流密度为单位时间内垂直穿过以该点为中心的单位面积的电荷量，方向为正电荷的运动方向。若en为曲面△S的法线方向，则0limnSISJe电流密度J的单位为A/m2，也称为电流面密度。那么，穿过任一截面S的电流I为SIdSJ此式表明，穿过某一截面的电流等于穿过该截面电流密度的通量。线密度电流线密度0limnlIlJeLdIJl此时J的单位为A/m。既然电流是电荷运动形成的，电流密度应与运动电荷的密度和运动速度有关。Svvdtρ分布的体电荷以速度v匀速运动，在dt时间内通过面S的电荷量为。因此电流dqSvdtISv电流密度J与电荷体密度ρ以及运动速度v的关系为Jv实验证明，对于传导电流，在外源的作用下，大多数媒质中的电流密度J与该点的电场强度E成正比，即EJ式中称为电导率，单位为S/m。代表了介质的导电性能，值愈大表明导电能力愈强，即使在微弱的电场作用下，也可形成很强的电流。71017.671080.531071010.451071054.3111071057.112107101510介质电导率(S/m)介质电导率(S/m)银海水4紫铜淡水金干土铝变压器油黄铜玻璃铁橡胶电导率为无限大的导体称为理想导电体。电导率为零的介质称为理想介质。在理想导电体中是不可能存在恒定电场的，否则，将会产生无限大的电流，从而产生无限大的能量。EJS,JElU在恒定电流场中，沿着电流方向取一个长度为l，截面积为S的微小圆柱体积，电流密度J与端面垂直，则通过该圆柱端面的电流I为IJSES若圆柱两端电位差为U，则电场强度UEllUIS代入上式得令，则lRSUIR此式即欧姆定律。欧姆定律的微分形式？EJ仅适用于各向同性的线性介质运流电流的电流密度不与电场强度成正比，而且电流密度的方向与电场强度的方向也可能不同。运动电流的电流密度J与运动速度v的关系为vJ与介质的极化特性一样，介质的导电性能也表现出均匀与非均匀，线性与非线性以及各向同性与各同异性等特点，这些特性的含义与前相同。§4-2电动势首先讨论外源内部的作用过程，此时设为开路情况。在外源中非静电力作用下，正电荷不断地移向正极板P，负电荷不断地移向负极板N。PNE外源显然，极板上电荷产生的电场力阻止电荷移动，一直到极板电荷产生的电场力等于外源中的非电力时，外源的电荷运动方才停止，极板上的电荷也就保持恒定。极板上的电荷在外源中形成电场E，其方向由正极板指向负极板。既然外源中的非静电力表现为对于电荷的作用力，因此，通常认为这种非静电力是由外电场产生的，以E表示。可见，E的方向与极板电荷形成的电场E的方向恰好相反。当时，电荷运动停止。EE若外源的极板之间接上导电介质，正极板上的正电荷通过导电介质移向负极板；负极板上的负电荷通过导电介质移向正极板。因而导致极板上电荷减少，使得，外电场又使外源中的电荷再次移动，外源不断地向正极板补充新的正电荷，向负极板补充新的负电荷。EEPNE外源EE导电媒质由上可见，极板上的电荷通过导电介质不断流失，外源又不断地向极板补充新电荷，从而维持了连续不断的电流。因此，为了在导电媒质中产生连续不断的电流，必须依靠外源。PNE外源EE导电媒质当达到动态平衡时，极板上的电荷分布保持不变。这样，极板电荷在外源中以及在导电介质中产生恒定电场，且在外源内部保持，在包括外源及导电介质的整个回路中维持恒定的电流。EE极板上的电荷分布虽然不变，但是极板上的电荷并不是静止的。它们是在不断地更替中保持分布特性不变，因此，这种电荷称为驻立电荷。驻立电荷是在外源作用下形成的，一旦外源消失，驻立电荷也将随之逐渐消失。这就是电池的工作原理外电场由负极板N到正极板P的线积分称为外源的电动势，以e表示，即lEdPNe达到动态平衡时，在外源内部，所以上式又可写为EElEdPNePNE外源EE导电媒质由于0PNlNPdddElElEl故非静电力产生的外电场不是保守场。驻立电荷产生的恒定电场与静止电荷产生的静电场一样，也是一种保守场。因此，d0PNlNPddEl=ElElPNE外源EE导电媒质NPUdEl外源极板间的电压降为于是有eUlEdPNe可见，外源的电动势等于外电路中的电压降。外源中的外电场对单位正电荷做的功等于导电介质内恒定电场对单位正电荷做的功。对于均匀导电媒质，上式变为l0dlJ根据斯托克斯定理，求得上两式的微分形式如下：0J0J可见，均匀导电介质中，恒定电流场是无旋的。无外源的导电介质中，，所以EJd0lldJEll（各向同性、线性的均匀介质）设闭合面S包围的体积V中驻立电荷的体密度为，则VVqdVttqSVddSJ那么，§4-3恒定电流场的方程从闭合面S流出的电流已知恒定电流场中的电荷分布与时间无关，即，由此得0tS0dSJ此式表明，在恒定电流场中，电流密度通过任一闭合面的通量为零。这表明流入任一闭合面S的电流等于流出S的电流。在△t时间内穿出闭合面S的净自由电荷量（电流）等于同一时间里体积V中净电荷减少量电荷守恒定律如果以一系列的曲线描述电流场，那么，电流线是连续闭合的。这一结论称为电流连续性原理。根据高斯定理，求得tJ上式为电荷守恒原理的微分形式。因此，对于恒定电流场，得0J导电介质中的恒定电流场是无散的。各向同性的线性介质中0JEEEEE可见，只有在导电介质不均匀的区域中才有电场强度的散度。若导电介质是均匀的，则ED式中ρ为驻立电荷体密度。0E于是可见，在均匀导电介质中，驻立电荷体密度为零，只能分布在导电介质的表面上。§4-4恒定电流场的边界条件已知恒定电流场方程的积分形式为l0dlJS0dSJ0J0J对应的微分形式为由积分形式的恒定电流场方程导出边界两侧电流密度的切向分量关系为2t21t1JJ而边界两侧电流密度的法向分量关系为2n1nJJ由此可见，在两种导电媒质的边界上，电流密度矢量的切向分量是不连续的，但其法向分量连续。已知，那么根据上述恒定电流场的边界条件可以导出导电媒质中恒定电场的边界条件为EJ已知理想导电体内部不可能存在电场，那么，理想导电体表面不可能存在切向电场，因而也不可能存在切向恒定电流。当电流由理想导电体流出进入一般导电媒质时，电流线总是垂直于理想导电体表面。2t21t1JJ2n1nJJ2tt1EEn221n1EE折射定律1122tantan电流线的折射1212由折射定理得1122tantan，则02媒质1是良导体，71510/sm媒质2是不良导体,2210/sm5.恒定电流场的能量损耗在导电媒质中，自由电子移动时要与原子晶格发生碰撞，结果产生热能，这是一种不可逆的能量转换。在恒定电流场中，沿电流方向取长度为dl，端面为dS的圆柱体，如图所示。圆柱体的端面分别为两个等位面。dlUJdS在dt时间内有dq电荷自圆柱的左端面移至右端面，那么电场力作的功为lqEqWdddddlE电场损失的功率P为VEJlSEJlEIltqEtWPddddddddd那么，单位体积中的功率损失为22JEEJpl当J和E的方向不同时，单位体积中的功率损失可以表示为JElp此式称为焦耳定律的微分形式，它表示某点的功率损耗等于该点的电场强度与电流密度的标积。设圆柱体两端的电位差为U，则，又知，那么单位体积中的功率损失可表示为lUEdSIJdVUIlSUIplddd可见，圆柱体中的总功率损失为2dlPpVUIIR焦耳定律22JEEJpl6.恒定电流场与静电场的比拟已知无外源区中均匀导电媒质内的恒定电流场方程和无源区中均匀介质内的静电场方程如下：恒定电流场)0(E静电场)0(0dllJ0dSSJ0J0J0dllE0dSSE0E0E可见，两者非常相似，恒定电流场的电流密度J相当于静电场的电场强度E，电流线相当于电场线。因此，当恒定电流场与静电场的边界条件相同时，电流密度的分布与电场强度的分布特性完全相同。PN电流场PN静电场由于恒定电流场容易实现且便于测量时，可用边界条件与静电场相同的电流场来研究静电场的特性，这种方法称为静电比拟。根据这种类似性，可以利用已经获得的静电场的结果直接求解恒定电流场。