矩阵的特征值与矩阵的相似对角化

试卷和课件下载地址lzhao.ys168.com二.矩阵相似对角形nA对阶方阵，如果可以找到可逆矩阵，P使得为对角阵，就称为把方阵对角化。1PAPA定义:定理2：阶矩阵可对角化（与对角阵相似）nA有个线性无关的特征向量。An(逆命题不成立)推论1:若阶方阵有个互不相同的特征值,nAn则可对角化。（与对角阵相似）A说明：如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性An无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化．A推论2:阶方阵相似于对角阵的充要条件是的nAA每一个it重特征值对应个线性无关的特征向量．it把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1.由特征值、特征向量反求矩阵例3：已知方阵的特征值是A1230,1,3,相应的特征向量是1231111,0,2,111求矩阵.A解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。A因为有3个不同的特征值，所以可以对角化。AA即存在可逆矩阵,使得P1PAP其中111102,111P01,3求得1111333110,22111636P1APP111333111011102102211131116361101210112.求方阵的幂例4：设求45,23A100.A解：4523AE(2)(1)0121,2.A可以对角化。齐次线性方程组为当时，110AEx11005522AE系数矩阵12xx令得基础解系:21x111p齐次线性方程组为当时，2220AEx250025225AE系数矩阵1252xx令得基础解系:21x252p令12(,)Ppp1512求得1251311P即存在可逆矩阵,使得P112PAP1APP1001001APP100151025131202111001001525(1)0131211021001001011012525521322523.求行列式例5：设是阶方阵，是的个特征值，An2,4,,2nAn计算3.AE解：方法1求的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。3AE()3fxx设A的特征值是2,4,,2n即2,ii3AE的特征值是()23ifi1323(1)13(23)niAEin方法2：已知有个不同的特征值，所以可以对角化，AnA即存在可逆矩阵,使得P1242PAPn1APP1133AEPPPEP1(3)PEP13PEP3E234323n(1)13(23)n4.判断矩阵是否相似解：方法13()3,BfAAAEB的特征值为(1)1(2)3(3)19fff令3()31fxxx3阶矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化。BB例6：已知3阶矩阵的特征值为1，2，3，A23,BAAE设问矩阵能否与对角阵相似？B即存在可逆矩阵,使得P1123PAP113(3)PBPPAAEP1311(3)PAPPAPPEP1111()()()3PAPPAPPAPPAPE311123213311319方法2：因为矩阵有3个不同的特征值，所以可以对角化，A所以矩阵能与对角阵相似。B例7：设阶方阵有个互异的特征值，nAn阶方阵与有相同的特征值。nBA证明：BA与相似。证：设的n个互异的特征值为A12,,,n则存在可逆矩阵,使得1P12111nPAP又12,,,n也是矩阵的特征值，B所以存在可逆矩阵,使得2P12122nPBP111122PAPPBP112112PPAPPB即1111212()()PPAPPB即存在可逆矩阵,使得1PAPB112PPPBA即与相似。相似，其中与已知矩阵BA,00010002aA,32020002bB;,)2(,)1(1ABPPPba使求可逆阵的值；求.)3(nB求解特征值及由相似矩阵具有相同的)1(BAniin121,)()(BtrAtrnii1解之得得),43(22;3212baba.3,5ba例8解方程，，的特征值为由,512)2(321B0)(xBIi为得对应的特征向量分别,0011,1102,1103.,,,1321成立则令ABPPP,)3(1PAPB因,)(11PPAPAPBnnn所以2121021210001,1101100011PP可解得由于是215215021521500021nnnnnnnPPAB问取何值时，,332263132321321321xxx,xxx,xxx设方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时，求通解。解对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵33226311321B2310131013212~1312rrrr例92310131013211000131013012~2123rrrr,1,01时即当R(A)=R(B)=23,有无穷多解，此时000013101301~B原方程组的同解方程组是方程组,1,01时即当R（A）=2，R（B）=3，方程组无解。)(,,13,133333231任意取值xxxxxxx,3kx令得通解为：.011133321kxxx