矩阵的运算

矩阵的加法主要内容数与矩阵相乘矩阵的乘法方阵的幂第二节矩阵的运算矩阵的转置方阵的行列式共轭矩阵矩阵矩阵乘积的意义1.定义定义2设A＝(aij)m×n与B＝(bij)m×n是A-B=A+(-B).阵.显然有A+(-A)=O.由此可定义矩阵的差为若记-A=(-aij),则称-A为矩阵A的负矩矩阵A与矩阵B的和，记为A＋B．两个同型矩阵，称m×n矩阵C＝(aij+bij)m×n为一、矩阵的加法2.运算规律设A,B,C为同型矩阵,则(1)A+B=B+A(加法交换律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律);(3)A+O=O+A=A,(4)A+(-A)=O.其中O是与A同型矩阵;例设,A730152,B935423.3459C(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因;(2)求C的负矩阵.例例设,A730152,B935423.3459C(1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求其和,哪些不能进行加法运算,说明原因;(2)求C的负矩阵.(1)A与B能进行加法运算;阵,A和B都是3×2矩阵,C是2×2矩阵.B与C不能进行加法运算,因为它们不是同型矩而A与C,解解1.定义定义3设A=(aij)m×n,k是一个数,则mnmmnnnmijkakakakakakakakakaka212222111211）（为数k与矩阵A的数量乘积,简称数乘,记为kA.称矩阵二、数与矩阵相乘2.运算规律设A,B为同类型矩阵,k,l为常数，则(1)1A=A;(2)k(lA)=(kl)A;(3)k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算.例设,B,A22121203且B,XA32求矩阵X.例例设,B,A22121203且在BAX23B,XA32求矩阵X.两端同加上,32BXAA2得221212032)(,0618解解三、矩阵的乘法引例引例11线性变换的乘积线性变换的乘积设有三组变量x1,x2,x3,x4、y1,y2,y3、z1,z2，它们之间的关系分别为)1(.,,,3432421414333232131332322212123132121111yayayaxyayayaxyayayaxyayayax设某地区有甲、乙、丙三个工厂,每个工厂都产品工厂ⅠⅡⅢⅣ甲乙丙203010451510702020153525产量(单位:个)如下表所示:生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4种产品.已知每个工厂的年引例引例22总收入与总利润总收入与总利润1.引例2.定义定义4设矩阵A=(aij)m×p,B=(bij)p×n,pkkjik,ba1i=1,2,…,m,j=1,2,…,n则称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积,注意:只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时,两个矩阵才能相乘.记作C=AB.cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aipbpjC=(cij)m×n,其中例利用下列模型计算两个矩阵的乘积.124567-154672454367115330179287636665*67+6*54+7*1=666矩阵乘积模型之矩阵乘积模型之::AA2233BB3333双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程清　空矩阵乘积模型之矩阵乘积模型之::AA3333BB3333双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程135234-941243432154-236534-503832252*43+3*4+4*34=234-2536123443-302-337清　空232341-9-4515-197-13-723*(-9)+2*5=-197矩阵乘法模型之矩阵乘法模型之：：AA2222BB2222单击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程单击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程清　空例利用下列模型验证单位矩阵的性质.单位矩阵的性质单位矩阵的性质::EE3333AA3333双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程10001000112-9-8475-6112-90*2+0*4+1*(-6)=-6-8475-61清　空1234561000100011234564*0+5*1+6*0=5单位矩阵的性质单位矩阵的性质::AA2233EE3333双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程双击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程清　空,431102311014,20121301BA例4已知求AB.,431102311014,20121301BA例例44已知求AB.因为A是2×4矩阵,B是4×3矩阵,A定义有其乘积AB=C是一个2×3矩阵,由矩阵乘积的的列数等于B的行数,所以矩阵A与B可以相乘,解解例5求矩阵63422142B,A的乘积AB及BA.例例55求矩阵63422142B,A的乘积AB及BA.解解63422142AB21426342BA,1683216.0000由定义有232341-9-4515-197-13-723*(-9)+2*5=-197矩阵乘法模型之矩阵乘法模型之：：AA2222BB2222单击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程单击乘积矩阵的某一元素，可得该元素的计算过程清　空定义了矩阵的乘法运算后,对于线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111若令,212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA,21nxxxX,21mbbbbAX=b.则上述线性方程组可写成如下矩阵形式:AX=b.关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点:(1)矩阵的乘法运算不满足交换律.左乘B”或“B右乘A”.作乘法时,应指明它们相乘的次序.如AB读作“A中AB和BA虽然都有定义,但ABBA.所以,在使AB与BA都有定义,它们也不一定相等.的矩阵A和B,AB有定义,但BA就没有定义.即AB有定义,BA不一定有定义.中,431102311014,20121301BA例例44已知求AB.因为A是2×4矩阵,B是4×3矩阵,A定义有其乘积AB=C是一个2×3矩阵,由矩阵乘积的的列数等于B的行数,所以矩阵A与B可以相乘,解解如例例55求矩阵63422142B,A的乘积AB及BA.解解由定义有63422142AB21426342BA,1683216.0000如AX=b.(3)矩阵的乘法不满足消去律,即如果,OB,CBABC,B,A1122540211113211但AC.例如AB=CB,B0,不一定能推出A=C.(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.例如本节中A0,B0,但BA=0.例例55求矩阵63422142B,A的乘积AB及BA.解解由定义有63422142AB21426342BA,1683216.00003.运算规律(1)Ok×mAm×p=Ok×p,Am×pOp×n=Om×n;(2)设A是m×n矩阵,Em是m阶的单位矩(5)k(AB)=(kA)B=A(kB).(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)C=A(BC);(4)A(B+C)=AB+AC,EmA=A,AEn=A;阵,En是n阶的单位矩阵,则四、方阵的幂如果A是n阶矩阵,那么,AA有意义,AmAAA个也有意义,因此有下述定义:AmmAAAA个另外还规定，１.定义Ａ0=E.Ａ相乘称为Ａ的m次幂，记为Ａm,即定义设A是n阶矩阵,m是正整数,m个2.运算规律设A为方阵,k,l为正整数,则阶方阵A与B,一般来说(AB)kAkBk.又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个nAkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.例设,11A计算A2,A3,An(n3).例例设,11A计算A2,A3,An(n3).设AA==E+B,E+B,其中E为三阶单位方阵,,000100010B这一步很关键这一步很关键也很巧妙也很巧妙!!解解例6证明.cossinsincosnnnnncossinsincos例例66证明.cossinsincosnnnnncossinsincos证明证明用数学归纳法.当n=1时，等式显然成立.设n=k时成立，即设.cossinsincoskkkkkcossinsincos要证n=k+1时成立.此时有.08122351TA六、矩阵的转置1.定义定义5把矩阵A的行换成同序数的列得到例如矩阵01258231A的转置矩阵为一个新矩阵,叫做A的转置矩阵,记作AT或A′.矩阵的转置模型矩阵的转置模型A=12-1343158-213309478AT=1250-138943-21471338334444332.运算规律设A，B，C，A1，A2，…，Ak是矩阵，且(A1A2…Ak)T=AkT…A2TA1T;(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;则它们的行数与列数使相应的运算有定义，k是数，(5)若A为n阶矩阵,则(Am)T=(AT)m,A为反对称矩阵的充要条件是AT=-A.(6)A为对称矩阵的充要条件是AT=A;m为正整数;,1skkijkjibac则A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,我们只证明(4)的第一式.设记AB=C=(cij)m×n,BTAT=D=(dij)n×m.证证明明,baabdskkijkskjkkiij11而BT的第i行为(b1i,…,bsi),AT的第j列为(aj1,…,ajs)T,因此,1skkijkjibac则A=(aij)m×s,B=(bij)s×n,我们只证明(4)的第一式.设记AB=C=(cij)m×n,BTAT=D=(dij)n×m.证证明明,baabdskkijkskjkkiij11而BT的第i行为(b1i,…,bsi),AT的第j列为(aj1,…,ajs)T,