矩阵论课件 5.2,5.3

5.2广义特征值问题定义5.5设A是n阶实对称矩阵，B是n阶实对称正定矩阵，如果存在C与O≠xCn使满足Ax=Bx，则为矩阵A相对于矩阵B的特征值；而与相对应的非零解x称之为属于的特征向量.一.广义特征值问题的等价形式第一种：B-1Ax=x第二种：将B进行Cholesky分解，得到B=GGT,于是可表为Ax=GGTx.令y=GTx，则x=(GT)-1y，且有Sy=y其中.TGAGS)(11二.特征向量的共轭性因为S是实对称矩阵，所以它的特征值均为实数，且有完备特征向量系满足n,,1,y,,yn1ji,ji,yyjTi10因为，所以iTiyGx1jTijTTiTjTTijTiyyxGxGxGGxBxx即ji,ji,BxxjTi10定义5.6满足的向量系称为按B标准正交向量系；第一式称为B正交（共轭）条件.ji,ji,BxxjTi10nxx,1性质1),,1(niOxi5.3对称矩阵特征值的极性一.实对称矩阵的Rayleigh商的极性nxx,1性质2线性无关.定义5.7设A是n阶实对称矩阵，称.nRxOxxxAxxxRTT)(为矩阵A的Rayleigh商.性质1R(x)是x的连续函数.性质2R(x)是x的零次齐次函数.性质4R(x)的最大值和最小值存在，且时，OxxLx00xR性质3是一常数.能够在单位球面上达到.12x,RxxSn注：在S上的最大值与最小值，就是在)(xROx的整个区域上的最大值与最小值.设实对称矩阵A的特征值按其大小顺序排列为对应的标准正交特征向量系为n21nppp,,,21定理5.16设A为实对称矩阵，则证任取则,RxOn)0(222212211nnncccpcpcpcx于是有222212222121222111nTnnTnnncccxxcccAxxpcpcpcAx令则有),,,2,1(222212nicccckniinOxOxxRxR)(max,)(min1121nkkk且nnkkkxR2211)(由此可得nxR)(1又，所以nnpR,pR11nOxOxxRxR)(max,)(min1证毕推论1在上，与分别是的一个极小点和极大点.12x1pnpxR推论2如果，则在nkk11kkplplpl221112x上，的所有极小点为xR其中，且满足),,1(kiRli122221klll定理5.17设,1),,,,(1nsrpppLxsrr定理5.18设实对称矩阵A，则A的第个特征ksOxrOxxRxR)(max,)(min则有值1,maxmin2xVxAxxkTVkk其中Vk是Rn的任意一个k维子空间，1≤k≤n证构造Rn的子空间),,,(1nkkkpppLW)dim(1)dim(dimdim)dim(kkkkkkkkWVnWVWVWVn即有，于是存在1)dim(kkWV,0kkWVx1dimknWk,nkkRWV则由于所以满足且有,120x)1(220nknnkkccpcpcx故即knnkkTccAxx2200kkTxVxAxx1,max2所以kkTVxVxAxxk1,maxmin2令则有,1),,,(2010xVxppLVkkk满足取)1(22111kkkllplplx于是kkkTllAxx2121所以kkTxVxAxx1,max20因而证毕kkTVxVxAxxk1,maxmin2定理5.10设实对称矩阵A和A+Q的特征值分别为，则有nn2121和),,1(2niQii证令则Q+cI是半正定的，,2Qc因为A+Q+cI的特征值为cccn21所以iiTViTVixVxxAxxVxxcIQAxcii1,)(maxmin1,)(maxmin22因此i–μi≤c类似地，因为Q–cI半负定，所以A+Q–cI的特征值为cccn21于是可得iiTViTVixVxxAxxVxxcIQAxcii1,)(maxmin1,)(maxmin22因此因而即.cii.cii.2Qii证毕定理5.20设实对称矩阵A，A+Q和Q的特征值分别是nn2121,和，并定义向量n21TnTnvu),,,(,),,,(2121Tnw),,,(21，则22wvu二.广义特征值的极小极大原理定义5.8设A，B为n阶实对称矩阵，且B正定，xRn.称OxBxxAxxxRTT,)(为矩阵A相对于矩阵B的广义Rayleigh商.定理5.22非零向量x0是R(x)的驻点是Ax=Bx的属于特征值的特征向量.0x证因为AxxxRBxxTT)(所以AxdxxdRBxxxRBxT2)()()(2BxxRAxBxxdxxdRT)(2)(必要性.因为x0是R(x)的驻点,所以0)(0xxdxxdR,即000)(BxxRAx充分性.设x0满足Ax0=Bx0，则有)(0xR，所以x0是R(x)的驻点.证毕推论若x0是Ax=Bx的特征向量，则是与之对应的特征值.设广义特征值为，与之对应的按B标准正交特征向量系为)(0xRn21.,,,21nppp定理5.23设Vk为Rn中的任意一个k维子空间，则广义特征问题的第k个特征值和第个特征值具有下列的极小极大性质1kn)(maxminxRkkVxOVk)(minmax1xRkkVxOVkn证与定理5.18相同.只证第二个等式.因为–Ax=Bx的第k个特征值为–n-k+1应用第一式可得)(minmax)1()(min)1(min)(maxmin1xRxRBxxxAxkkkkkkVxOVVxOVTTVxOVkn证毕推论1设Vk为Rn中的任意一个k维子空间，则对实对称矩阵A的第k个特征值和第n-k+1个特征值具有以下性质)(minmax)(maxmin1xRxRkkkkVxOVknVxOVk第一式被称为特征值的极小极大原理第二式被称为特征值的极大极小原理推论2设Vk是Rn的任意一个k维子空间，则定理5.23或推论1的结论可写成如下形式)(maxmin)(minmax11111xRxRknknknknVxOVknVxOVk三.矩阵奇异值的极小极大性质nrnrn110nmrRA定理5.24设的奇异值排列为则A的第k个奇异值和第nk+1个奇异值具有下列的极性质22122minmaxmaxminxAxxAxkkkkVxOVknVxOVk其中Vk是Rn的任一k维子空间.证设ATA的特征值排列为nrnrn110由于),,1(niii所以2221222221maxminmaxminmaxminxAxxAxxxAxAxkkkkkkVxOVVxOVTTTVxOVkk证毕定理5.25设的奇异值排列同上，的奇异值排列为nmrRAnmrRQA)(nrnrn11''0则有),,1(2niQii证设的相应的标准正交特征向量AAT则有22)(max0xxQAiVxOinxxx,,,21),,1)(,,,(210nixxxLVii系为,222222222maxmaxmax00QxQxxAxxQxxAxiOxVxOVxOii设(A+Q)T(A+Q)的特征值排列为nrnrn11''0相应的标准正交特征向量系为nyyy,,,21),,1)(,,,(211niyyyLVii2222222max)(maxmax11QxQxxxQAxAxiOxVxOVxOiii所以证毕),,1(2niQii定理5.26设和的奇异nmrRAnmrRQA)(nrnrn110nmrRQ值排列同上，的奇异值排列为定义向量nnnwvu,,,,,),,,(111则有22wvu