21. 2012全国高中数学联赛(一试)

预赛试题集锦（2013）高中竞赛1思维的发掘能力的飞跃2012年全国高中数学联赛(一试A卷)一、填空题(每小题8分，共64分)1．设P是函数2(0)yxxx的图象上任意一点，过P分别向直线yx和y轴作垂线，垂足分别为,AB，则PAPB的值是．2．设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足3coscos5aBbAc，则tantanAB的值是．3．设,,[0,1]xyz，则||||||Mxyyzzx的最大值是．4．抛物线22(0)ypxp的焦点为F，准线为l，,AB是抛物线上的两个动点，且满足3AFB．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则||||MNAB的最大值是．5．设同底的两个正三棱锥PABC和QABC内接于同一个球，若正三棱锥PABC的侧面与底面所成的角为45，则正三棱锥QABC的侧面与底面所成角的正切值是．6．设()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，2()fxx，若对任意的[,2]xaa，不等式()2()fxafx恒成立，则实数a的取值范围是．7．满足11sin43n的所有正整数n的和是．8．某情报站有,,,ABCD四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是．(用最简分数表示)二、解答题(共56分)9．(本小题满分16分)已知函数131()sincos222fxaxxaa，aR且0a．(Ⅰ)若对任意xR，都有()0fx，求a的取值范围；(Ⅱ)若2a，且存在xR，使得()0fx，求a的取值范围．预赛试题集锦（2013）高中竞赛2思维的发掘能力的飞跃10．（本小题满分20分）已知数列{}na的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n，都有23331212()nnaaaaaa．(Ⅰ)当3n时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,aaa；(Ⅱ)是否存在满足条件的无穷数列{}na，使得20132012a？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．(本小题满分20分)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且6OBOD．(Ⅰ)求证：||||OAOC为定值；(Ⅱ)当点A在半圆M：22(2)4(24)xyx上运动时，求点C的轨迹．