7-3 三重积分的计算法―球面坐标

17.3.4利用球面坐标计算三重积分一、球面坐标(,,),,,MxyzMr设为空间内一点则点也可用这样三个有次序的数来确定。M(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,,)xyzo2M(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,,)xyzorM为原点到间的距离。OMz为有向线段与轴正向所夹的角。,,rM这样三个数叫做点的球面坐标。,zxOPPMxoy为从正轴来看自轴按逆时针方向转到有向线段这里是点在平面上的投影点。3①球面坐标的变化范围0,0,02rr=常数，即以原点为心的球面。=常数，即以原点为顶点、z轴为轴的圆锥面。=常数，即过z轴的半平面。zM(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,,)xyo②三组坐标面4M③点的直角坐标与球面坐标的关系为cossinsincossinrzryrxzM(x,y,z)P(x,y,0)xyzrM(r,,)xyo④球面坐标下的体积元素ddrdrdvsin25为了把三重积分中的变量从直角坐标变换为球面坐标，用三组坐标平面r=常数，=常数，=常数把积分区域分成许多小闭区域。考虑由r,,各取得微小增量dr,d,d所成的六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把这个六面体看作长方形。xyzoddrddrsinrrdrsind6xyzoddrdsinrrdrsind经线方向的长为rd,ddrdrdvsin2这就是球面坐标系中的体积元素。纬线方向的宽为rsind,于是，小六面体的体积为dr向径方向的高为dr。7二、三重积分的球面坐标形式ddrdrrFdxdydzzyxfsin),,(),,(2(,,)(sincos,sinsin,cos)Frfrrr其中。,当原点在内时有),(02020sin),,(),,(rdrrrFdddVzyxf计算三重积分，一般是化为先r，再，最后的三次积分。,20,0),,(0rr8例如，半径为R的球体的体积dVV3223RRdrrdd02020sin343R。9,先将积分化为球面坐标的累次积分再例1求其积分值。xyzo2222222022)()1(yxRxRxRRRdzyxdydxI(1),Rxoy是以原点为球心以为半径的上半球面与面所围解成的空间区域。20,20,0:RrRdrrd04203sin2RdrrrddI02222020sinsin。4154R10dvzyx222cos222000sinddrrdr2044cossin2dzzyxdvzyx222222:,)2(:0cos,0,022r解10。xyz1o11例2xyzo22222,:2zdvxyzz求用球解法一面坐标系22cos2222000cossinIddrrdr522cos2002cossin[]5rd2088cos564:02cos,0,022r。5812用柱解法二面坐标系2zdv22131111023rrzrdr12232041()[31(1)](1)32rrdr03141()[3]32uudu122302[612(1)]3rrrdr。5822111220011rrdrdrzdzxyzo213zD解法三截面法dvz22340(2)zzdzzDddzz2022022)2(dzzzz2054)5142(zz。58)2(:222zzyxDzxyzo2zyxozD14小结三重积分的计算方法：基本方法：化三重积分为三次积分计算。关键步骤：(1)坐标系的选取(2)积分顺序的选定（直角）(3)定出积分限15柱形体域锥形体域抛物体域柱面坐标长方体四面体任意形体球面坐标球形体域或其中一部分直角坐标dxdydzdrdzrddrddrsin2zzyyxxzzryrxsincossincossinsincosxryrzr坐标系适用范围体积元素变量代换