高中数学--离散型随机变量及其分布列..

第6节离散型随机变量及其分布列(理)•1．(2013·济宁模拟)下列4个表格中，可以作为离散型随机变量分布列的一个是()•【解析】利用离散型随机变量的分布列的性质检验即可．•【答案】C•2．(2013·广东模拟)设随机变量X的分布列如下：则p为()A.16B.13C.23D.12•【答案】B【解析】由16＋13＋16＋p＝1，∴p＝13.•3．抛掷2颗骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是()•A．2颗都是4点•B．1颗是1点，另一颗是3点•C．2颗都是2点•D．1颗是1点，另1颗是3点，或者2颗都是2点•【解析】X＝4表示的随机试验结果是1颗1点，另1颗3点或者两颗都是2点．•【答案】D•4．(2013·福州模拟)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，则P(X＝4)的值为()•【答案】CA.1220B.2755C.27220D.2125【解析】由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球，故P(X＝4)＝C23C19C312＝27220.•5．(2012·江苏高考改编)设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.则P(ξ＝0)＝__________.【解析】若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，∴共有8C23对相交棱．∴P(ξ＝0)＝8C23C212＝8×366＝411.【答案】411•1.离散型随机变量•（1）随机变量：将随机现象中试验（或观测）的每一个可能的结果都对应于一个，这种对应称为一个随机变量，通常用大写的英文字母如、来表示.•（2）离散型随机变量•所有取值可以的随机变量称为离散型随机变量.数XY一一列出•2.离散型随机变量的分布列•设离散型随机变量X的取值为a1，a2，…随机变量X取ai的概率为Pi（i＝1，2，…），记作（i＝1，2，…），或列成表为X＝aia1a2…anP（X＝ai）P1P2…PnP（X＝ai）＝Pi•1．离散型随变量X的每一个可能取值为实数，其实质代表的是什么？•提示：代表的是“事件”，即事件是用一个反映结果的实数表示的•如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N，M，n的超几何分布.一般地，设有N件产品，其中有M（M≤N）件次品.从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出的几件产品中次品的件数，那么P（X＝k）＝CkMCn－kN－MCnN（其中k为非负整数）.•2.如何判断所求离散型随机变量的分布列是否正确？•提示：可用Pi≥0，i＝1，2，…，n及P＋P2＋…＋Pn＝1检验.•(2013·岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为：X－101P121－2qq2•【思路点拨】本题借助分布列的性质解决•【答案】C则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22•设离散型随机变量X的分布列为•求：(1)2X＋1的分布列；•(2)|X－1|的分布列．X01234P0.20.10.10.3m【思路点拨】利用4i＝0Pi＝1，求m；再求2X＋1及分布列，|X－1|的分布列．【尝试解答】由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为：•从而由上表得两个分布列为：•(1)2X＋1的分布列：•(2)|X－1|的分布列：X012342X＋113579|X－1|101232X＋113579P0.20.10.10.30.3|X－1|0123P0.10.30.30.3•【归纳提升】要充分注意到分布列的两条重要的性质•(1)pi≥0，i＝1,2……；•(2)p1＋p2＋…＝1.•它们可用来判断是否为分布列，求值运算及检验结果正确性.•袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：•(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；•(2)随相变量X的分布列；•(3)计分介于20分到40分之间的概率．【思路点拨】(1)总取法为C310，关键是求出三个小球上的数字各不相同有多少取法；(2)先确定X的求值，再确定X取每个值的概率；(3)由计分范围确定X的范围，利用的结论求概率．【尝试解答】(1)法一：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝C35C12C12C12C310＝23.法二：“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B，则事件A和事件B是对立事件：因为P(B)＝C15C22C18C310＝13，所以P(A)＝1－P(B)＝1－13＝23.(2)由题意，X所有可能的取值为2,3,4,5.P(X＝2)＝C22C12＋C12C22C310＝130；P(X＝3)＝C24C12＋C14C22C310＝215；P(X＝4)＝C26C12＋C16C22＝310；P(X＝5)＝C28C12＋C18C22C310＝815.•所以随机变量X的概率分布列为：X2345P130215310815(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”记为事件C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝215＋310＝1330.•【归纳提升】求离散型随机变量的分布列应按下述三个步骤进行：•(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；•(2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率；•(3)按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证.•(江西高考卷改编)某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．求X的分布列．•【思路点拨】先确定X的取值，再确定每个取值的概率【尝试解答】X的所有可能取值为：0,1,2,3,4，P(X＝i)＝Ci4C4－i4C48(i＝0,1,2,3,4)，即X的分布列为：X01234P170167036701670170【归纳提升】超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数．如果一随机变量ξ服从超几何分布，那么事件{ξ＝k}发生的概率为P(ξ＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0,1,2，…，m，m＝min{M，n}．•●考情全揭密●•从近几年的高考试题来看，离散型随机变量的分布列是高考的热点，题型为解答题，属中档题，分布列与排列、组合、概率、均值与方差等知识结合考查，以考查基本知识、基本概念为主．•预测2014年高考，离散型随机变量的分布列仍然是考查的热点，同时应注意与分布列相结合的题目，重点考查学生的运算能力和理解能力．•●命题新动向●•分布列的知识交汇•以实际问题为背景，以解答题的形式考查随机变量的概率、分布列是高考对本节内容的常规考法．将概率、离散型随机变量的分布列与集合、组合数的性质等相结合考查，是一个新的考查方向．•(2012·浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3球所得分数之和．求X的分布列．【规范解答】X的可能取值有：3,4,5,6.P(X＝3)＝C35C39＝542；P(X＝4)＝C25C14C39＝2042＝1021；P(X＝5)＝C15C24C39＝1542＝1021；P(X＝6)＝C34C39＝242＝121.•故，所求X的分布列为X3456P5421021514121•●针对训练●•从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中，等可能地取出一个．•(1)记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；•(2)记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．【解】(1)记“所取出的非空子集满足性质r”为事件A.基本事件总数n＝C15＋C25＋C35＋C45＋C55＝31；事件A包含的基本事件是{1,4,5}，{2,3,5}，{1,2,3,4}事件A包含的基本事件数m＝3.∴P(A)＝mn＝331.(2)依题意，ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5.又P(ξ＝1)＝C1531＝531；P(ξ＝2)＝C2531＝1031；P(ξ＝3)＝C3531＝1031；P(ξ＝4)＝C4531＝531；P(ξ＝5)＝C5531＝131.故ξ的分布列为：ξ12345P53110311031531131从而E(ξ)＝1×531＋2×1031＋3×1031＋4×531＋5×131＝8031.