高中数学-余弦定理

12直角三角形中的边角关系：CBAabc1、角的关系：A+B+C=180°A+B=C=90°2、边的关系：a2+b2=c23、边角关系：sinA=—=cosBsinB=—=cosAacbc复习3CBAabcAbcAcbAcbbcAAcbCBaAbcAbcCBAabcc2＞a2+b2c2＜a2+b2看一看想一想直角三角形中的边a、b不变，角C进行变动勾股定理仍成立吗？c2=a2+b24是寻找解题思路的最佳途径c=AcbCBa∣AB∣c2==ABABAB=AC+CBABAB=(AC+CB)(AC+CB)算一算试试！联想50222∴AB=AC+2ACCBcos(180-C)+CB证明：222∴c=a+b-2abcosC向量法)()(CBACCBACABABCBACABCBCBCBACACAC2若ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证：bcABCaCabbaccos2222证明6CBA同理可证：证明：2b+2c－2bc·Acos=2AC＋2AB－2·AC·AB·Acos=2AC+2AB－2·AC·AB=（AC－AB）2=2BC=2BC=2a2b=2a＋2c－2·bc·Bcos2c=2a＋2b－2·Cabcos格式二：逆用公式cosabab证明7证明：以CB所在的直线为x轴，过C点垂直于CB的直线为y轴，建立如图所示的坐标系，则A、B、C三点的坐标分别为：(cos,sin)AbCbC222∴c=a+b-2abcosCxy(,0)Ba(0,0)C解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb22222sincos2cosCabbacos222证明8ABCabcD当角C为锐角时几何法bAacCBD当角C为钝角时CBAabc余弦定理作为勾股定理的推广，考虑借助勾股定理来证明余弦定理。证明9证明：在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,作CD⊥AB，则CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22(sin)(cos)bAcbA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：2222cosacBacb2222cosabCcab当然，对于钝角三角形来说，证明类似，课后自己完成。D10余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosC你能用文字说明吗？CBAabc三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。归纳11变一变乐在其中CBAabca2=b2+c2-2bc·cosAb2=c2+a2-2ca·cosBc2=a2+b2-2ab·cosCb2+c2-a22bccosA=c2+a2-b22cacosB=a2+b2-c22abcosC=变形归纳12想一想：余弦定理在直角三角形中是否仍然成立？cosC=a2+b2-c22abC=90°a2+b2=c2cosA=b2+c2-a22bccosB=c2+a2-b22cacosA=—cosB=—cbc13问题1：勾股定理与余弦定理有何关系？勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.问题2：公式的结构特征怎样？（1）轮换对称，简洁优美;剖析定理（2）每个等式中有同一个三角形中的四个元素，知三求一.（方程思想）剖析14思考：已知两边及一边的对角时，我们知道可用正弦定理来解三角形，想一想能不能用余弦定理来解这个三角形？如：已知b=4,c=,C=60°求边a.15222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB（3）已知a、b、c（三边），可以求什么？bcacbA2cos222acbcaB2cos222222090cbaA222090cbaA222090cbaA剖析定理abcbaC2cos222剖析P14例3P15练习2,316剖析定理（4）能否把式子转化为角的关系式？Abccbacos2222分析：ARasin2:得RCcBbAa2sinsinsin:由正弦定理BRbsin2CRcsin2:cos2222并化简得代入AbccbaACBCBAcossinsin2sinsinsin222202000:sin70sin50sin70sin50.练习求的值2020000:sin70sin502sin70sin50cos60解原式20sin6034剖析17（1）已知三边求三个角；222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab问题3：余弦定理在解三角形中的作用是什么？（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.222-c=a+b2abcosC222-a=b+c2bccosA222-b=a+c2accosB剖析定理剖析P14例1、例218.,(),.182,126,63,,(1).ABCCACBACBAB例二两地之间隔着水塘如图现选择另一点测得米米求两地间的距离精确到米ACB222222.,(1),;(2),.ExABCCabcCabc用余弦定理证明:在中当为锐角时当为钝角时19会用才是真的掌握了余弦定理在解三角形中能解决哪些问题？角边角角角边边边角边角边边边边正弦定理余弦定理运用20练一练：P15练习1，41、已知△ABC的三边为、2、1，求它的最大内角。解：不妨设三角形的三边分别为a=,b=2,c=1则最大内角为∠A由余弦定理cosA=12+22-()22×2×1=-—12∴A=120°变一变：若已知三边的比是:2:1,又怎么求？21再练：2、已知△ABC中AB=2、AC=3、A=，求BC的长。解：由余弦定理可知BC2=AB2+AC2-2AB×AC·cosA=4+9-2×2×3×=7∴BC=22思考：（1）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,判定三角形ABC的形状分析：三角形ABC的形状是由大边b所对的大角B决定的。222(,)90180cBba（2）在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6,求三角形ABC的面积分析：三角形的面积公式S=absinC=bcsinA=acsinB,只需先求出cosC(cosA或cosB),然后求出sinC(sinA或sinB）代入面积公式即可。121212232.余弦定理a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC222222222222b+c-acosA=，2bc222c+a-bcosB=，2ca222a+b-ccosC=2ab3.由余弦定理知1.证明定理:课堂小结22290Aacb22290Aacb22290Aacb向量法、解析法、几何法24（1）已知三边求三个角；222b+cacosA=-2bc222a+cbcosB=-2ac222a+bccosC=-2ab（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.5.余弦定理的作用（3）判断三角形的形状，求三角形的面积a=b+c-2bccosAb=c+a-2accosBc=a+b-2abcosC2222222224.余弦定理适用于任何三角形25作业布置P16-171,5,6,1026例4在长江某渡口处，江水以5km/h速度向东流。一渡船在江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达江北岸码头（如图）。设AN为正北方向，已知B码头在A码头的北偏东15o，并与A码头相距1.2km.该渡船应按什么方向航行？速度是多少千米/小时？（角度精确到0.1o，速度精确到0.1km/h)ADNBC151.250.1,,1.2(),50.10.5(),.ACACABACBDABkmACkmAD解：如图，取方向为水流方向以为一边、为对角线作平行四边形其中船按方向开出27222,,1.20.521.20.5cos(9015)1.38,1.17().,1.170.111.7(/).ABCBCADBCkmkmh在中由余弦定理得所以因此船的航行速度为ADNBC15,sin0.5sin75sin0.4128,1.1724.4.159.4.ABCACBACABCBCABCDANDABNABABC在中由正弦定理,得所以所以9.411.7/.kmh答：渡船应按北偏西的方向,并以的速度航行P16练习1,2285,sin2sincos,ABCABC例在中已知试判断三角形的形状.222,sin,cos,sin2AaabcCBbab解：由正弦定理得222222,2.aabcbabbc整理,得0,0,..bcbcABC为等腰三角形练习:P16练习3,42916222P612().2AMABCBCAMABACBC例如图是中边上的中线，求证：222,180.,,2cos.AMBAMCAMBABAMBMAMBM证：设则在中由余弦定理得222C,,CC2Ccos(180).AMAAMMAMM在中由余弦定理得22221cos(180)-cos,,212,2BMMCBCABACAMBC2221,2().2AMABACBC因此练习:P177,1330作业：P172，8，11，123132提高性训练：1、在△ABC中，求证：c=acosB+bcosA2、在△ABC中，若CB=7，AC=8，AB=9，求AB边的中线长。33例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,c=,解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到）28821分析：已知两边和两边的夹角解：2222cosabCbca2222.7303.696cos283.696822.7304.297c2222223.6964.2972.73023.6964.2972cos0.7767cabbcA232A3018058BAB34例2：在ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个三角形.解：由c2=a2＋b2－2abcosC,得c≈4.297.b2＋c2－a22bc∵cosA＝≈0.7767，∴A≈39°2′,∴B＝180°－(A＋C)＝58°30′.asinCc∵sinA＝≈0.6299，∴A=39°或141°(舍).()35ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(－2，8)、(4，1)，求A.解法一：∵AB＝√[6-(-2)]2+(5-8)2=√73,BC＝√(-2-4)2+(8-1)2=√85,AC＝√(6-4)2+(5-1)2=2√5,cosA＝＝,2ABACAB2＋AC2－BC22√365∴∴A≈84°.36ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.解法二：∴A≈84°.∴cosA＝＝＝.AB·ACABAC(–8)×(–2)＋3×(–4)√73·2√52√365∵AB＝(–8，3)，AC＝(–2，–4).37ABCOxy例3：ABC三个顶点坐标为(6，5)、(–2，8)、(4，1)，求A.αβ分析三：A=α+β,tanα=?tanβ=?tan(α+β)=38解：在AOB中，∵|a–b|2＝|a|2＋|b|2–2|a||b|cos120°＝61,∴|a–b|＝√61.例4：已知向量a、b夹角为120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、|a＋b|及a＋b与a的夹角.BbACa120°O39∴a＋b＝√21.∴∠COA即a＋b与a的夹角约为49°.∵cos∠COA＝≈0.6546,a2＋a＋b2–b22aa＋b例4：已知向量a、b夹角为120°，且|a|＝5，|b|＝4，求|a–b|、|a＋b|及a＋b与