工程力学第9章课件

机械工业出版社第九章圆轴的扭转第一节扭转的概念、扭矩与扭矩图第二节圆轴扭转时的应力与强度计算第三节圆轴扭转时的变形与刚度计算小结下一页上一页返回目录1机械工业出版社当钳工攻螺纹孔时，加在手柄上两个等值反向的力组成力偶，作用于丝锥杆的上端，工件的反力偶作用在丝锥杆的下端；汽车转向盘的操纵杆，两端分别承受驾驶员作用在转向盘上的外力偶和转向器的反力偶作用。FF'FF'第一节扭转的概念、扭矩与扭矩图返回首页下一页上一页一、扭转的概念2机械工业出版社这些构件的受力特点是：两端受到一对数值相等、转向相反、作用面垂直于杆轴线的力偶作用。它们的变形特点是：各截面绕轴线产生相对转动，这种变形称为扭转变形，其上任意二截面间的相对转角称为扭转角。以扭转变形为主的构件称为轴。工程上轴的横截面多采用圆形截面或圆环形截面。MnMn返回首页下一页上一页3机械工业出版社二、扭矩与扭矩图1．外力偶矩的计算工程中作用于轴上的外力偶矩通常并不直接给出，而给出轴的转速和轴所传递的功率它们的换算关系为M＝9549P/n（N·m）（9-1）式中，M—轴扭转外力偶矩（N·m）；P—轴的传递功率（kW）；n—轴的转速，单位为转/分（r/min）。返回首页下一页上一页力矩的功和功率公式分别为P=Mω其中各个物理量均以其在国际单位制中的主单位为其单位。4W=Mθ机械工业出版社若已知轴上作用的外力偶矩，可用截面法研究圆轴扭转时横截面上的内力。现分析如图示的圆轴，在任意m-m截面处将轴分为两段。MM为保持平衡，在截面上必然存在一个作用面和截面重合的内力偶矩Mn，与外力偶矩M平衡，这个横截面上的内力偶矩Mn称为扭矩。Mn由平衡条件∑Mx=0，可求得这个内力偶的大小Mn=MMMnMM2．扭矩与扭矩图M返回首页下一页上一页5机械工业出版社为使上述两种算法所得同一横截面处扭矩的正负号相同，特作如下规定：采用右手螺旋法则，拇指指向轴在横截面处的外法线方向。扭矩的转向与四指的握向一致时为正；反之为负。MnnMxMnn返回首页下一页上一页6机械工业出版社在求扭矩时，一般按正向假设，所得为负则说明扭矩转向与所设相反。当轴上作用有多个外力偶时，须以外力偶所在的截面将轴分成数段。逐段求出其扭矩。为形象地表示扭矩沿轴线的变化情况，可仿照轴力图的方法绘制扭矩图。作图时，沿轴线方向取坐标表示横截面的位置，以垂直于轴线的方向取坐标表示扭矩。下面举例说明之。返回首页下一页上一页7机械工业出版社，其转速n=960r/min，输入功率PA=27.5kW，输出功率PB=20kW，PC=7.5kW，不计轴承摩擦等功率消耗。试作ABC轴的扭矩图。解1)计算外力偶矩。由式(9-1)得MAMBMCABC式中，MA为主动力偶矩，与ABC轴转向相同；MB、MC为阻力偶矩，其转向与MA相反。27.595509550Nm274Nm960AAPMn2095509550Nm199Nm960BBPMn7.595509550Nm75Nm960CCPMn返回首页下一页上一页8机械工业出版社)计算外力偶矩。MA=274Nm；MB=199Nm；MC=75Nm-Mn1MAMBMCABC11MAMBABMAA2)计算扭矩。将轴分为两段，逐段计算扭矩。由截面法可知Mn1=-MA=-274NmMn2=-MA+MB=-75Nm3)画扭矩图。根据以上计算结果，按比例画扭矩图。由图看出，在集中外力偶作用面处，扭矩值发生突变，其突变值等于该集中外力偶矩的大小。最大扭矩在AB段内，其值为∣Mn∣max=274Nm22Mn2Mn-75Nm-274Nmx0返回首页下一页上一页9机械工业出版社一、圆轴扭转时的应力为了研究圆轴横截面上应力分布的情况，可先进行实验观察。在圆轴表面画若干垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线，两端施加两个方向相反、力偶矩大小相等的外力矩使圆轴扭转。当扭转变形很小时，可观察到：圆轴扭转动画1）各圆周线的形状、大小及两圆周线的间距均不改变，仅绕轴线作相对转动；各纵向平行线仍然平行，且倾斜了同一角度，使原来的矩形变成平行四边形。圆周线纵线O圆周线纵线OAMMA'MOA2）由上述现象可认为：扭转变形后，轴的横截面仍保持平面，其形状和大小不变，半径仍为直线。这就是圆轴扭转的平面假设。返回首页下一页上一页第二节圆轴扭转时的应力与强度计算10机械工业出版社由上述可知，圆轴扭转时，其横截面上各点的切应变与该点至截面形心的距离成正比。由剪切胡克定律可知，横截面上各点必有切应力存在，且垂直于半径呈线性分布，即有=K。Mnmax返回首页下一页上一页11ddddxxlGGGll机械工业出版社ρdA=K扭转切应力的计算如图，圆轴横截面上微面积dA上的微内力为dA，其方向沿圆的切向，它对截面中心O的力矩为dA。整个横截面上所有微力矩之和应等于该截面上的扭矩Mn，则有OMnmax2nddAAMAKA（9-2）令2pdAIA，称截面极惯性矩，则Mn=KIp=Ip/得npMI（9-3）返回首页下一页上一页12极：pole机械工业出版社显然，当=0时，=0；当=R时，切应力最大，为max=MnR/Ip。OMnmax（9-4）OMndAdA式中，Wn称为抗扭截面系数。式（9-3）及式(9-4)均以平面假设为基础推导而得，故只有当圆轴的max不超过材料的比例极限时方可应用。npMI（9-3）令，则式(9-3)可写成pnIWRnmaxnMW返回首页下一页上一页13机械工业出版社二、极惯性矩Ip及抗扭截面系数Wn在理论力学中，曾计算过均质圆盘对过圆心且垂直盘面轴的转动惯量，其表达式为圆截面对圆心O的极惯性矩可类比求出，即22d/2zmJmmRDOd22pd/2AIAAR用代入，即得2π4DA故抗扭截面系数4pπ32DI3pnπ/216IDWD返回首页下一页上一页14机械工业出版社、外径为D的圆环形截面轴，Mnmax3p4nπ(1)/216IDWD式中，=d/D即为内、外径之比。圆环形截面的抗扭截面系数为444444pππππ()(1)32323232DdDIDd返回首页下一页上一页15机械工业出版社三、圆轴扭转强度计算由式(9-3)可知，等直圆轴最大切应力发生在最大扭矩处，即截面的外周边各点处。为了使圆轴能正常工作，必须使最大工作切应力不超过材料的许用切应力，于是等直圆轴扭转时的强度条件为至于阶梯轴，由于Wn各段不同，max不一定发生在Mnmax所在的截面上；因此需综合考虑Mn和Wn两个因素来确定。（9-5）nmaxmaxn[]MW返回首页下一页上一页16机械工业出版社阶梯轴如图，M1=5kN·m，M2=3.2kN·m，M3=1.8kN·m，材料的许用切应力[]=60MPa。试校核该轴的强度。解画出阶梯轴的扭矩图。因两段的扭矩、直径各不相同，需分别校核。M1M2M3ABC8050-Mn-1.8kNm-5kNmx0AB段：Mn1=-5103Nm33n1π80mm16W33n13maxn11651010MPa49.7MPaπ80MW返回首页下一页上一页17机械工业出版社8050-Mn-1.8kNm-5kNmx0BC段：Mn2=-1.8103Nm33n2π50mm16W33n23maxn2161.81010MPaπ50MWAB段：∣∣max=49.7MPa73.4MPa从以上计算结果看出：最大切应力发生在扭矩较小的BC段。由于∣∣max=73.4MPa＞[]，所以轴AC的强度不够。返回首页下一页上一页18机械工业出版社，外径D＝90mm，壁厚t=2.5mm，材料为45钢，许用切应力[]=60MPa，工作时最大外扭矩M＝1.5kN·m。1)试校核AB轴的强度。2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。3)比较实心轴和空心轴的质量。解1)校核AB轴的强度。由已知条件可得故AB轴满足强度要求。Mn=M=1.5103Nm][MPa8.50MPa2950010105.133nnmaxWM944.0905.2290Dd334343nmm29500mm)944.01(1690π)1(16πDW返回首页下一页上一页19机械工业出版社已知：D＝90mm，t=2.5mm，[]=60MPa，Mn=1.5kN·m。1)试校核AB轴的强度。2)如将AB轴改为实心轴，试在相同条件下确定轴的直径。3)比较实心轴和空心轴的质量。解1)校核AB轴的强度。2)确定实心轴的直径。若实心轴与空心轴的强度相同，则两轴的抗扭截面系数必相等。设实心轴的直径为Dl，则有34331mm29500)1(16π16πaDDmm2.53mmπ295001631D返回首页下一页上一页20机械工业出版社已知：D＝90mm，t=2.5mm，D1＝53.2mm。3)比较实心轴和空心轴的质量。计算结果说明，在强度相同的情况下，空心轴的质量仅为实心轴质量的31％，节省材料的效果明显。这是因为切应力沿半径呈线性分布，圆心附近处应力较小，材料未能充分发挥作用。改为空心轴后，相当于把少量轴心处的材料移向边缘，从而保证了轴的强度。但是，空心轴价格昂贵，要视具体情况采用。故AB轴满足强度要求。两轴的材料和长度相同，它们的质量比就等于面积比。设Al为实心轴的截面面积，A2为空心轴的截面面积，则有4π211DA4)(π222dDA31.0)2.53(8590222212212DdDAA返回首页下一页上一页退出21机械工业出版社一、圆轴扭转时的变形计算第三节圆轴扭转时的变形与刚度计算扭转变形是用两个横截面绕轴线的相对扭角来表示的。对于Mn为常值的等截面圆轴，由于γ很小，由几何关系可得AB=l，AB=R所以=l/RMnMnRAO下一页上一页返回目录22机械工业出版社RAO下一页上一页返回目录23ddxddRx垂直于轴线方向，截取厚度为dx的一个薄片来分析：ρdφ是薄片上半径为ρ处一个小体积块左、右侧面的线错位，所以倾斜角γρ就是相应的角错位，也就是剪切应变。在柱体表面处，倾斜角γ就是表面处的剪切应变。OMnmaxOMndAdA机械工业出版社将胡克定律代入上式，得(9-6)式中，GIp反映了截