材料力学-扭转截面几何性质

第7章平面图形的几何性质概述•构件的横截面积都是具有一定几何形状的平面图形，构件的承载能力（强度，刚度，稳定性等）都与平面图形的一些几何性质（横截面积，极惯性矩等）有关。因此需要第7章平面图形的几何性质zcycyycdAzz0§7.1静矩和形心1静矩zASydAyASzdA•同一图形：坐标轴不同-静矩不同，数值可正，可负，可为零！•量纲：3m•2.形心ASAydAyzAcASAzdAzyAcAysczAzscy3组合图形的静矩和形心icizAysiciyAzsiicicAAzziicicAAyyzcycyycdAzz0组合图形注:1静矩有符号.2当Sz=0yc=0，即平面图形对某一轴的静矩为零，则该轴必然过形心3当yc=0Sz=0，即若某一轴通过形心，则图形对该轴的静矩为零。4由平面图形的形心必在对称轴上，故平面图形对于对称轴的静矩总是等于零。5静矩是截面对于一定的坐标轴而言的，同一截面对于不同的坐标轴，其静矩不同。解：zybhc已知：矩形截面b×h求：sz和sy22hbAzScy22bhAyScz已知：图示图形求：zc和yc212211AAzAzAzc解：mm7.39107010120510706010120212211AAyAyAycmm7.191070101204510705101201012080C1(560)C2(455)10zyyydAzz0ρAAIizzdAyIAz2AIiyy§4.2惯性矩和惯性半径1惯性矩dAzIAy22惯性半径3极惯性矩dAIAp2yydAzz0ρA2空心圆dρDdA0ρdρDdA0dρ20422322DAPDddAI)1(322422422DdAPDddAIDd1圆5组合图形的惯性矩izzIIiyyIIyydAzz0ρAAyzAAApIIdAzdAydAzydAI22222)(4惯性矩与极惯性积的关系yzydyhbcbdyydAyIAhhz2222hdzzdAzIAbby2222123bhIz123hbIy已知：矩形求：Iy和Iz解：hbzyDc已知：实心圆截面直径D,空心圆截面直径D、d.求：Iy和Iz。解：1实心圆AzyzypIIIIdAI22264)1(44DIIzy2空心圆644DIIzyd§4.3惯性积1y、z之一为图形对称轴则Iyz=0；zz-zy0dAdA2惯性积为零的一对座标轴称为惯性主轴；3通过形心的主轴称为形心主轴或形心惯性主轴；AyzyzdAI§4.4平行移轴公式yydAzz0Azcycczcycab图形对平行于形心轴y、z轴的惯性矩和惯性积为：图形对形心轴的惯性矩和惯性积为：AczdAyIc2AcydAzIc2AcczydAzyIccAydAzI2AzdAyI2AyzyzdAIayycbzzcyydAzz0AzcycczcycabAacAcAcAzdAadAyadAydAaydAyI22222)(AbIIcyy2abAIIccZyyzAaIIczz2已知：T形截面。求：Izc解：形心c(0yc)1002014020cc1c2yc1yczyzcⅠⅡm0467.002.01.002.014.008.02.014.0212112122110AAAyAAAyAyAyc46231069.714.002.0)0467.008.0(1214.002.0mIcz46231043.402.01.00467.01202.01.0mIcz461012.12cmIIIIIzzccz•作业•4.2•4.7•4.9第三章扭转§3–1扭转的概念外力特点：在杆件上作用着大小相等、转向相反、作用平面垂直于杆件轴线的两组平行力偶系。轴：以扭转变形为主的杆件。变形的特点：当杆件发生扭转变形时，任意两个横截面将绕杆轴线作相对转动而产生相对角位移。这种相对角位移称为扭转角，用表示。§3–2外力偶矩的计算，扭矩和扭转图一、外力偶矩的计算已知轴所传递的功率和轴的转速，则外力偶矩（N•m）nNm9549N——功率，单位为千瓦（KW）n——转速，单位为rod/minN——功率，单位为马力n——转速，单位为rod/minnNm7024二、扭转时的内力——扭矩MeMeMeMxx右:ΣMx=0,Me–Mx´=0Mx´=MeMx、Mx´为扭矩扭矩的符号规定：按右手螺旋法则，扭矩矢量方向与截面外法线相同为正，反之为负。扭矩左:ΣMx=0,Mx–Me=0Mx=Mex'xMeM三、扭矩图例题：1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。一薄壁圆筒扭转时的应力rt为薄壁圆筒Lmφrtm§3.3纯剪切现象：1圆周线的形状大小不变相邻两周线之间距离不变，但发生了相对转动。2各纵向线仍然平行，但倾斜了相同的角度γ（剪应变）,矩形歪斜成平行四边形mxTLmφrtm0xmmrrt2trm22由平衡条件试中：r为圆筒的平均半径。二、剪应力互等定理由平衡方程0zm结论：在互相垂直的两个平面上，剪应力必然成对存在，且数值相等；二者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离两平面的交线，这种关系称剪应力互等定理。纯剪切应力状态:单元体上只有剪应力而无正应力的情况。τ=τ´τdytdx=τ´dxtdyLmφrtmτγτγτ＝Gγ四E、G和μ之间的关系三剪应变、剪切胡克定律)1(2EG剪应变在弹性范围内,剪切胡克定律G--剪切弹性模量RllφRγeMeM§3–4圆轴扭转时的应力及强度计算一、横截面上的应力1、变形几何关系平面假设：Lmφtm圆轴的各个横截面,变形后仍保持为平面,形状和大小不变,半径仍保持为直线,并且相邻两截面间的距离不变.dxRd表面剪应变2、物理关系dxdGG内部剪应变dxd3、静力关系dAdxdGdATAApAIdxdGdAdxdG2pGITdxdApdAI2——截面对形心的极惯性矩（与截面形状、大小有关的几何量）pITRIWpt——抗扭截面模量（系数）tpWTITRmax当ρ=R时极惯性矩和抗扭截面模量（1）圆（2）空心圆dρDdA0ρdρDdA0dρ20422322DApDddAI1623DDIWpt)1(322422422DdApDddAI)1(16243DDIWpt二、强度计算max[]ptTRTIWRIWpt——抗扭截面模量（系数）解决三类强度问题：§3–5圆轴扭转时的变形和刚度计算扭转角：任意两横截面相对转过的角度l1l2l3T1Ip1T2Ip2T3Ip3T(x)Ip(x)xdxGITdpdxGITpl0pGITl1扭转角(1)等直圆轴(2)阶梯轴piiiGIlT(3)变截面轴dxxGIxTpl)()(2单位长度扭转角pGITdxd3扭转刚度条件][maxmaxpGIT][180maxmaxpGIT[φ]—许用单位长度扭转角rad/m0/m例题：1、有一阶梯形圆轴，轴上装有三个皮带轮。轴的直径分别为d1=40rmn，d2=70mm，已知轮3输入的功率为N3=30kW，轮1输出的功率为N1=13kW。轴作匀速转动，转速n=200r／min。若材料的容许剪应力[]=60MPa，G=8104MPa，轴的容许单位长度扭转角为[]=2／m，试校核该轴的强度和刚度。2、图示为装有四个皮带轮的一根实心圆轴的计算简图。已知m1=1.5kN.m，m2=3kN.m，m3=9kN.m，m4=4.5kN.m；各轮的间距为l1=0.8m，l2=1.0m，l3=1.2m；材料的[]=80GPa，[]=0.3/m，G=80GPa.(1)设计轴的直径D；(2)若轴的直径D0=105mm，试计算全轴的相对扭转角D-A3、有一外径为100mm、内径为80mm的空心圆轴，与一直径为80mm的实心圆轴用键相连接。在A轮处由电动机带动，输入功率N1=150kW；在B、C轮处分别负载N2=75kW，N3=75kW。若已知轴的转速为n=300r／min，容许剪应力[]=45MPa；键的尺寸为10mml0mm30mm，其容许应力为[]=100MPa和[c]=280MPa。(1)校核空心轴及实心轴的强度（不考虑键槽的影响）；(2)求所需键数n。P§3–6扭转静不定问题已知:AB阶梯轴两端固定,C处作用外力偶矩m,AC抗扭刚度为G1Ip1,CB抗扭刚度为G2Ip2.求:轴的扭矩.解:1静力学关系0,0BAxmmmm2变形几何关系0BCACABmACBab扭转静不定问题mBACBmmAxABCmm3物理关系AmT102121pBpAIGbmIGamBmT2解出:maIGbIGbIGTppp2112111maIGbIGaIGTppp2122122ACBmabmBACBmmA§3–7非圆轴截面杆扭转的概念矩形截面杆扭转分自由扭转和约束扭转。杆两端无约束，翘曲程度不受任何限制的情况，属于自由扭转。此时，杆各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维长度无变化，横截面上只有剪应力，没有正应力。杆一端被约束，杆各横截面的翘曲程度不同，横截面上不但有剪应力，还有正应力，这属于约束扭转。2maxhtMn式中h——矩形截面长边的长度；t——矩形截面短边的长度；——与截面尺寸的比值h/l有关的系数。矩形截面杆自由扭转时，其横截面上的剪应力计算有以下特点：(a)截面周边各点处的剪应力方向与周边平行(相切)；（b）截面角点处的剪应力等于零；(c)截面内最大剪应力发生在截面长边的中点处，其计算式为