反比例函数与图形面积

专题一反比例函数与图形的面积则：垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设,,)1(,)0(),(AxPkxkynmP||21||||2121knmAPOASOAPP(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质（一）P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx想一想若将此题改为过P点作y轴的垂线段,其结论成立吗?||21||||2121knmAPOASOAP).(||||||,,,,)2(如图所示则垂足分别为轴的垂线轴分别作过矩形knmAPOASBAyxPOAPBP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质（二）).(,),,(),()3(如图所示则点轴的垂线交于作与过轴的垂线作过关于原点的对称点是设|k|2|2n||2m|21|PAAP|21PΔPASAyPxPnmPnmPP(m,n)AoyxP/面积性质（三）P(m,n)oyxP/yP(m,n)oxP/以上几点揭示了双曲线上的点构成的几何图形的一类性质.掌握好这些性质,对解题十分有益.(上面图仅以P点在第一象限为例).做一做PDoyx1.如图,点P是反比例函数图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为.xy2(m,n)13k.3|||,|kkSAPCO矩形,图像在二、四象限又.____,3,,,,.2函数的解析式是则这个反比例阴影部分面积为轴引垂线轴向分别由图像上的一点是反比例函数如图yxPxkyPACoyxP.3xy解析式为解:A.S=1B.1S2C.S=2D.S2___.S,面ABC的,于xBC,yAC平的任意O于原上的x1yB是A,,3.如则积为轴轴两点对称关图图平行行于点像函数ACoyxB解:由上述性质(3)可知,S△ABC=2|k|=2C___.,S的面Rt,S的面RtD.垂足,的垂C作B.垂足A作4.2ΔOCD1ΔAOB则积为积为记为线y过为过轴轴的垂线，x如图:A、C是函数的图象上任意两点，x1yA.S1S2B.S1S2C.S1=S2D.S1和S2的大小关系不能确定.CABoyxCDDS1S2.,,21||21,21||21,21||21321111ASSSkSkSkSOOCBOBAOA故选即解:由性质(1)得A.__,,,,,,,,,,,,,,,)0(1,.5321111111则有面积分别为的记边结三点轴于交轴引垂线经过三点分别向的图像上有三点在如图SSSOCCOBBOAAOCOBOACBAxxCBAxxyA.S1=S2=S3B.S1S2S3C.S3S1S2D.S1S2S3BA1oyxACB1C1S1S3S26.如图，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在轴的正半轴上，点C在轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数的图象上，OA=1，OC=6，则正方形ADEF的面积为（）A.2B.4C.6D.12xkyB7.正比例函数y=kx与反比例函数y=2/x的图象交于A，C两点,AB⊥X轴于B，CD⊥X轴于D,则四边形ABCD的面积是。4.2,,8,.8的纵坐标都是的横坐标和点且点两点的图象交于的图象与反比例函数已知一次函数如图BABAxybkxy.)2(;)1(:的面积一次函数的解析式求AOBAyOBx？或为何值时，当2121)3(yyyyx2212442;4,2;42,8xybkbkbkxyyxxy一次函数的解析式为：解得时当时，当知解：由AyOBxAyOBxMN.642OAMOMBAOBSSS).0,2(,2,0,22Mxyxy时当解：.2OM.,DxBDCxAC轴于轴于作,2,4BDAC,2222121BDOMSOMB.4422121ACOMSOMACD（2）△AOB的面积yAOBxMN由图象可知：).2,4(),4,2(BA（－2，4）（4，－2）当-2x0或x4时，y1y2当x-2或0x4时，y1y2y1y2？或为何值时，当2121)3(yyyyx解：一、反比例函数与矩形的面积变式1.如图，点A在双曲线y＝4x上，点B在双曲线y＝kx(k≠0)上，AB∥x轴，分别过点A，B向x轴作垂线，垂足分别为D，C.若矩形ABCD的面积是8，则k的值为()A．12B．10C．8D．6变式2.如图，点A是反比例函数y＝－6x(x＜0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B，C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为()A．1B．3C．6D．12AC二、反比例函数与三角形的面积变式6.反比例函数y＝kx的图象如图所示，点M是该函数图象上一点，MN垂直于x轴，垂足是点N.如果S△MON＝2，则k的值为()A．2B．－2C．4D．－4变式7.如图，直线x＝t(t＞0)与反比例函数y＝2x，y＝－1x的图象分别交于B，C两点，A为y轴上任意一点，则△ABC的面积为()A．3B.32tC.32D．不能确定DC变式8.(2014·黔东南州)如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝1x的图象相交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，则△ABC的面积为()A．1B．2C.32D.52变式9.(2014·东营)如图，函数y＝1x和y＝－3x的图象分别是l1和l2.设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为__．点拨：点P的坐标为(a，1a)，则A(a，－3a)，B(－3a，1a)，S△PAB＝12×[1a－(－3a)]×[a－(－3a)]＝12×4a×4a＝8.A8三、反比例函数与其他几何图形变式10.(2014·滨州)如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4.反比例函数y＝kx(x＜0)的图象经过顶点C，则k的值为__.变式11.如图，已知函数y＝2x和函数y＝kx的图象交于A，B两点，过点A作AE⊥x轴于点E.若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B，O，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是_．点拨：k＝8，y＝2x，y＝8x，A(2，4)，B(－2，－4)．①以OB，OE为边，P1(0，－4)；②以OB为对角线，P2(－4，－4)；③以OE为对角线，P3(4，4)．－6(0，－4)或(4，4)或(－4，－4)12.已知反比例函数y=m-7x的图象的一支位于第一象限.（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；（2）如图26-J-3所示，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值.解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m-7＞0，则m＞7.（2）设直线段AB交于x轴于点C.如答图26-J-1所示.∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，答图26-J-1则△OAC的面积为3.13.如图26-J-4，点A（m，6），B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5.（1）求m，n的值并写出反比例函数的表达式；（2）连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设反比例函数的表达式为y=，将A(m,6)，B(n,1)代入，得6m=n.又DC=5.由于DC=OC-OD,故DC=n-m,即n-m=5.联立方程组解得∴A（1，6），B（6，1）.将A（1，6）代入y=,得k=6，则反比例函数的表达式为y=.6m＝n,m+5＝n,m＝1,n＝6.（2）存在.设E（x，0），则DE=x-1，CE=6-x.∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°.答图26-J-2如答图26-J-2,连接AE，BE，则S△ABE=S四边形ABCD-S△ADE-S△BCE=（BC+AD）·DC-DE·AD-CE·BC=×（1+6）×5-（x-1）×6-（6-x）×1==5，解得：x=5，即E（5，0）.知识拓展下面四个关系式的图像分别对应的是：