3.1数系的扩充和复数的概念(修改版)

1.2.3.4.(1)理解数系的扩充是与生活密切相关;(2)明白复数及其相关概念。教学目的(1)复数及其相关概念;(2)能区分虚数与纯虚数;(3)明白各数系的关系。教学重点复数及其相关概念的理解教学难点讲练结合法，数形结合法，演示法教学方法引言：数系的不断扩充体现了人类在数的认识上的深化。就像人类进入太空实现了对宇宙认识的飞跃一样，复数的引入是对数的认识的一次飞跃。数系的扩充NZQR用图形表示包含关系：复习回顾实数有理数整数自然数对于一元二次方程没有实数根．012x我们已经知道：12x我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？思考？知识引入引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：ii（1）它的平方等于－1，即12i（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．为了解决负数开方问题，即：将实数a和数i相加记为:a+i；把实数b与数i相乘记作:bi；将它们的和记作:a+bi(a,b∈R),虚数单位全体复数所组成的集合叫复数集,用字母C表示1.复数：把形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数i叫做虚数单位(imaginaryunit)R,,|{babiazzC其中一.复数的有关概念｝知识讲解虚部b实部a用z表示复数,即z=a+bi(a,b∈R)叫做复数的代数形式2.复数的代数形式：规定:0i=0,0+bi=bi知识讲解3.复数的分类：复数z=a+bi(a,bR)条件数的类型RC实数集R是复数集C的真子集，虚数b≠0纯虚数a=0且b≠0实数0a=b=0实数b=0复数z=a+bi(a,bR)实数(b=0)虚数(b≠0)纯虚数(a=0)非纯虚数(a≠0)知识讲解1.说明下列复数是实数还是虚数，还是纯虚数？并说明各数的实部与虚部。31i31i71i2i)1(01iii)32(i2实数虚数纯虚数纯虚数纯虚数实数实数虚数虚数课堂练习2.有下列命题：（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则z=a一定不是虚数其中真命题的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3B课堂练习NZQRCNZQRC1.数集N，Z，Q，R，C的关系是怎样的？思考复数集实数集虚数集纯虚数集2.复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间关系思考4.两个复数相等有两个复数Z1=a+bi(a,b∊R)和Z2=c+di(c,d∊R)a+bi=c+dia=c且b=d注意1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相等或不相等两关系，而不能比较大小知识讲解5、共轭复数一般地，如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.,(,)zabiabR设则z=a-bi,(a,bR)例如：5+3i和5-3i互为共轭复数知识讲解例1：实数m取什么值时，复数是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？immz)1(1解：（1）当，即时，复数z是实数．01m1m（2）当，即时，复数z是虚数．01m1m（3）当，且，即时，复数z是纯虚数．01m01m1m例题分析例1(变式)m取何实数时，复数z＝m2－m－6m＋3＋(m2－2m－15)i(1)是实数？(2)是虚数？(3)是纯虚数？例题分析•[分析]在本题是复数的标准形式下，即z＝a＋bi(a，b∈R)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可．[解析](1)当m2－2m－15＝0m＋3≠0时，m＝5或m＝－3m≠－3∴当m＝5时，z是实数．(2)当m2－2m－15≠0m＋3≠0时，即m≠5且m≠－3m≠－3∴当m≠5且m≠－3时，z是虚数．(3)当m2－m－6＝0m＋3≠0m2－2m－15≠0时，即m＝3或m＝－2m≠－3m≠5且m≠－3∴当m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．•(1)下列命题中假命题是()•A．自然数集是非负整数集•B．实数集与复数集交集为实数集•C．实数集与虚数集交集是{0}•D．纯虚数集与实数集交集为空集•[答案]C•[解析]复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．故选C.变式练习•(2)已知a、b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的()•A．充要条件B．充分不必要条件•C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件•[答案]C•[解析]当a＝b＝0时，此复数为0是实数，故A、B不正确；变式练习若(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数，则a＋b≠0a－b＝0，⇒a＝b≠0，即a＝b≠0为该复数为纯虚数的充要条件，∴a＝b是复数为纯虚数的必要而不充分条件．故选C.*Znni424ni34ni14ni1-1iiB变式练习(2)（2005湖南卷）复数的值是（）432iiiizA.-1B.0C.1D.i例2已知，其中，求iyyix)3()12(Ryx,.yx与解：由复数相等的定义，得方程组)3(112yyx解得4,25yx例题分析•[点评](1)复数相等的条件，是求复数值及在复数集内解方程的重要依据．•(2)根据复数相等的定义可知，在a＝c，b＝d中，只要有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di.所以，一般地，两个复数只有说相等或不相等，而不能比较大小，例如，1＋i和3＋5i不能比较大小．•(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x、y的值．•(2)已知复数z＝k2－3k＋(k2－5k＋6)i(k∈R)，且z＜0，求k的值．[解析](1)∵x、y∈R，∴由复数相等的条件，得x2－y2＝0，2xy＝2.解得x＝1，y＝1，或x＝－1，y＝－1.(2)∵z＜0，k∈R，∴k2－3k＜0k2－5k＋6＝0∴k＝2.变式练习复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)这个建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi6、复数的几何意义知识讲解注：实轴上的点都表示实数，虚轴上的点（除原点外）都表示纯虚数.实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa|a|=|OA|实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。z=a+bixOy复数的绝对值(复数的模)的几何意义:复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。Z(a,b))0()0(aaaa复数的模22zOZab知识讲解(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。1．下列命题中的假命题是（）D2.已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。226020mmmm：由解1223mmm或得)2,1()2,3(m例题分析例求下列复数的模：(1)z1=-2i(2)z2=5-5i(3)上述题中这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？思考：(2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？(3)z4=1+mi(m∈R)(4)z5=4a-3ai(a0)(1)复数的模能否比较大小？xO55–5–5设z=x+yi(x,y∈R)5||22yxz例题分析自然数概念可溯源于原始人类用匹配方法计数。古希腊人用小石卵记畜群的头数或部落的人数。英文calculate（计算）一词是从希腊文calculus（石卵）演变来的。中国古藉《易．系辞》中说：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」直至1889年，皮亚诺才建立自然数序数理论。延伸阅读自然数零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya）字，其原意也是「空」或「空白」。中国最早引进了负数。《九章算术．方程》中论述的「正负数」，就是整数的加减法。减法的需要也促进了负整数的引入。减法运算可看作求解方程a+x=b，如果a，b是自然数，则所给方程未必有自然数解。为了使它恒有解，就有必要把自然数系扩大为整数系。延伸阅读整数原始的分数概念来源于对量的分割。如《说文·八部》对“分”的解释：“分，别也。从八从刀，刀以分别物也。”但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。其“合分术”有云：“实如法而一。不满法者，以法命之。”这句话的今译是：被除数除以除数。如果不能除尽，便定义了一个分数。古埃及人约于公元前17世纪已使用分数。延伸阅读分数为表示各种几何量（例如长度、面积、体积）与物理量（例如速率、力的大小），人类很早已发现有必要引进无理数。约在公元前530，毕达哥拉斯学派已知道边长为1的正方形的对角线的长度（即）不能是有理数。15世纪达芬奇（LeonardodaVinci,1452-1519）把它们称为是“无理的数”（irrationalnumber），开普勒（J.Kepler,1571-1630）称它们是“不可名状”的数。法国数学家柯西（A.Cauchy,1789-1875）给出了回答：无理数是有理数序列的极限。由于有理数可表示成有限小数或无限循环小数，人们想到用“无限不循环小数”来定义无理数，这也是直至19世纪中叶以前的实际做法。2延伸阅读无理数实数系的逻辑基础直到19世纪70年代才得以奠定。从19世纪20年代肇始的数学分析严密化潮流，使得数学家们认识到必须建立严格的实数理论，尤其是关于实数系的连续性的理论。在这方面，外尔斯特拉斯（1859）、梅雷（1869）、戴德金（1872）与康托尔（1872）作出了杰出的贡献。延伸阅读实数从16世纪开始，解高于一次的方程的需要导致复数概念的形成。用配方法解一元二次方程就会遇到负数开平方的问题。卡尔达诺在《大法》（1545）中阐述一元三次方程解法时，发现难以避免复数。关于复数及其代数运算的几何表示，是18世纪末到19世纪30年代由韦塞尔、阿尔根和高斯等人建立的。哈密顿认真地研究了从实数扩张到复数的过程。他于1843年提出了「四元数」的概念，其后不久，凯莱又用四元数的有序对定义了八元数。它们都被称为「超复数」，如果舍弃更多的运算性质，超复数还可扩张到十六元数、三十二元数等等。延伸阅读复数1.数系的扩充:自然数集(N)整数集(Z)有理数集(Q)复数集(C)实数集(R)2.复数——形如a+bi(a,b∈R)的数复数（C）3.两个复数相等的充要条件4.两个复数（不全为实数）不能比较大小。a——实部b——虚部a+bi=c+dia=cb=d（a，b，c，d∈R）实数（b=0）虚数(b≠0)纯虚数（a=0且b≠0）非纯虚数（a≠0,b≠0)5.共轭复数（实部相等，虚部互为相反数）课堂小结6.复数z=a+bi对应点Z(a,b)，复数的模：22zOZab