原子物理――量子力学初步

第二章量子力学的初步介绍波粒二象性物质波的统计解释和海森伯不确定原理薛定谔方程力学量的平均值、算符表示和本征值定态薛定谔方程解简例•概念：物质波；概率波；不确定关系；算符；平均值；势井；零点能；隧道效应量子数；电偶极跃迁定则；寿命；能级和谱线宽度。•重点：基本概念；电子衍射实验；薛定谔方程及其简单应用实例；氢原子的量子力学求解结果；量子数的含义；电子的几率分布；能级和光谱；角动量空间取向量子化。•难点：量子特性的理解。量子力学建立的背景光的量子性◎黑体辐射◎光电效应◎康普顿散射原子中的量子态■光谱实验■Bohr理论■Franck—Hertz实验至此形成的理论体系称之为“旧量子论”，可以解释一些经典理论无法解释的实验现象和光谱。§2-1实物粒子的波动性•一.德布罗意物质波•1923年，德布罗意将Einstein的光量子概念推广，提出了物质波的概念。•思想方法：自然界在许多方面都是明显地对称的，他采用类比的方法提出物质波的假设.•所有的波都具有粒子性•所有的粒子都具有波动性不能将物质的运动和波的传播分开。PrinceLouis-victordeBroglie1892-19871929年获诺贝尔物理学奖•光的粒子性表现在光与物质的相互作用方面，波长越短(或与障碍物或“孔”的线度可比拟时)，光的能量越高，其粒子性就显著，如电离气体、光电效应、康普顿效应、荧光效应、单光子记录等。•光的波动性表现在光的传播、干涉、衍射(是由光学仪器的线度即障碍物揭示的)以及散射、反射、折射等方面。波长越长的光其波动性就越显著。黑体辐射、光电效应和康普顿散射证明了光具有粒子的特性，粒子性的运动特征可以用动量等物理量来描述。•光子具有动量，每个光子的动量为hchcEpph作为粒子，光子具有质量2chm光子的运动质量光子的静止质量00m在相对论情况下，对能量为E，动量为P和静止质量为粒子有：2021()mcEhvc021()mvpvchp若以表示粒子的动能，有：kE20222240kEEmccpEmc224200(2)kkhchcEmcEEmc对于非相对论情况，即粒子的速度远小于光速时，有002khhmmE概念：光在传播时显现出波性；在转移能量时显示出粒子性。两者不会同时出现！0m例在一束电子中，电子的动能为，求此电子的德布罗意波长？eV200解20k21,vvmEc0k2mEv1-613119sm104.8sm101.9106.12002v例计算质量,速率的子弹的德布罗意波长.kg01.0msm300vm1021.230001.01063.63434vmhc340231606.63108.67100.89.1108.410hnmnmAm宏观上很难测到它的波动性二.德布罗意波的实验验证1.Davison－Germer实验1922年，Bell实验室的戴维孙(C.J.Davisson)因为一次偶然事故，观测到电子在镍单晶体上的衍射图样。了解到物质波的概念后，在1927年，他和革末(L.H.Germer)重做了一次较精确的实验。他们观测到：电子从晶体表面的反射，呈现出波动的衍射特征ClintonJosephDavisson1881～1958LesterHalbertGermer1896～19712ehhpmeV212emveV电子动能电子束被镍单晶散射后在空间的角分布反射表面可看成光栅晶体中衍射发生的条件反射表面可看成光栅2.德布罗意波的实验验证--汤姆孙电子衍射实验(1927年)G.P.Thomson10~40Kev电子多晶金属铂再次证明了电子具有波动性！G.P.汤姆孙电子衍射实验(1927年)UMDP电子束透过多晶铝箔的衍射K电子双缝衍射图三十年后，人们发现不但电子，而且其它一切微粒如中子、质子中性粒子和分子等都具有衍射现象，这说明这些粒子都具有波动性！波粒二象性是光子和其它微粒共同具有的特性。这种即是粒子，又是波的概念是经典物理所无法理解的！1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜;1981年德国人宾尼希和瑞士人罗雷尔制成了扫瞄隧道显微镜。3.电子的干涉•1950s，德国Tübingen大学的GottfriedMöllenstedt等利用“电子双棱镜”首先观察到了电子的干涉能否发生干涉和衍射现象，是波动性最好的证明！约恩逊(ClausJönsson)实验（1961年）•电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验o0.3μm1μm50kV0.05AadV缝宽缝间距基本数据89年日立公司的电子双棱镜实验，单电子干涉实验2002，9《物理世界》“最美丽的十大物理实验”让电子通过特制的金属狭缝•1989年，日立公司的AkiraTonomura等人作了更精确的实验•实际测量证明每秒钟只有少于1000个电子入射到双棱镜中，所以不可能有两个或两个以上的电子同时到达接收装置上•因而不存在干涉是两个电子相互作用的结果2002，9《物理世界》“最美丽的十大物理实验”•如果让入射电子数减弱，每次仅有一个电子射出，经过一段时间后，仍能得到稳定的双缝干涉花样。•而此时电子之间没有干涉•所以干涉不是两个电子间相互作用的结果•而是大量电子本身所具有的在空间分布的特性，这种特性是由电子与双缝所决定的•这种分布特性可以用几率描述•电子或光子出现几率大的地方，强度较强；电子或光子出现几率小的地方，强度较弱。8个电子270个电子2000个20000个60000个§2.2物质波的统计解释和不确定关系•一、光的波粒二象性•光子能量：E=h•光子的运动质量：•光子动量（德布罗意基本公式）：•粒子性：一个光子是一个不可分割的主体•波动性：具有波的特征—周期性、可叠加性•光具有波动性和粒子性,它是通过德布罗意基本公式体现的02hmcEhhpcchp概念：光在传播时显现出波性；在转移能量时显示出粒子性。两者不会同时出现•如果波长太大，在有限的空间尺度内无法测量物理量的周期性变化•如果波长太小，用现有仪器无法分辨物理量的周期性变化6612v(110kg)(110m/s)110Js/mpm341222/6.6310Js/(110Js/m)10mhp宏观微粒子二、宏观粒子的波动性宏观物理中，由于普朗克常数非常小所以它在宏观世界里实物粒子的波动性表现的不明显。室温下：氦原子的波长约为0.9埃中子的波长约为1.8埃。宏观物理对象是其107倍以上。对于5000埃的光，每个光子的能量宏观物理所涉及的辐射能量是焦耳量级，所以光的粒子性不明显。192.5410chvheVJ•由爱因斯坦和德布罗意公式：hEhp由于自由粒子的波长不变，它可以用一个平面单色波来表示，即)cos(),(0trktr其中phPk22h为普朗克常数或约化普朗克常数用复数表示)(0),(trkietr用量子力学参量表示)(0),(EtrPietr其中kPE)(0),(EtrPietrkP用量子力学参量表示其中E物理意义：它表示一个振幅恒定，在时间和空间上无限延展的波。通常情况下，粒子会受到外力的作用，其不再是平面单色波而是变成非常复杂的形式。自由粒子的波函数德布罗意波的统计解释经典的粒子是不被分割的整体，有确定位置和运动轨道。经典的波为某种实际的物理量的空间分布作周期性的变化，波具有相干叠加性。二象性要求将波和粒子两种对立的属性统一到同一物体上。1926年玻恩提出德布罗意波是概率波.统计解释：在某处德布罗意波的强度是与粒子在该处邻近出现的概率成正比的.概率概念的哲学意义：在已知给定条件下，不可能精确地预知结果，只能预言某些可能的结果的概率.三、量子态—波粒二象性的必然结果•1、轨道角动量的量子化•原子中的电子可以在其轨道上稳定地存在，而不湮灭或消失，则必须以驻波的形式存在于电子的轨道上。•否则，会由于波的相干叠加而消失•形成驻波的条件：轨道周长是电子波长的整数倍，只有这样才能使波的起点和终点具有相同的相位，于是2hhrnnnpm2hmrnn所以角动量是量子化的pmrn•Bohr模型的第三个假设即原子中电子在轨道上的驻波德布罗意认为，波尔原子模型中允许的电子轨道，必须是那些有稳定的驻波轨道，即轨道的长度必须是波长的整数倍。由此引出整数而引入量子化规则。由波长和动量的关系，可推出波尔的量子化规则。例2从德布罗意波导出氢原子波尔理论中角动量量子化条件.解两端固定的弦，若其长度等于波长则可形成稳定的驻波.rπ2将弦弯曲成圆时nrπ2,4,3,2,1nvmh电子绕核运动德布罗意波长nhrmvπ2角动量量子化条件nhnrmL22、刚性匣子中的粒子•粒子被限制在刚性匣子中运动，不能穿透出来•粒子在其中以驻波的形式存在•匣子壁是驻波的波节•匣子的长度是半波长的整数倍2Lnhp2nhpL222228kpnhEmmL束缚粒子的能量是量子化的匣子长度粒子动能如果将匣子等效为核的库仑势场•其中的粒子就是核外电子，电子沿轨道运动一周后回到起点•轨道的周长为匣子长度的2倍22rLLr22222288knhnhEmLmr204peEr2222084kpnheEEEmrr能量的最小值满足d0dEr2223202084nhemrr221min120()44ehram222min2201()13.6eV24emcEc2L2πr动能势能即能量最小时对应的轨道半径也就是玻尔第一轨道半径。这就是氢原子的基态能量总能量•波粒二象性是建立在物理实验、特别是光学实验的基础之上的。•从波粒二象性出发，可以自然得到物质的量子态不确定关系、态叠加原理、薛定谔方程，……•因此可认为，光学是经典物理学向近代物理学（包括量子论和相对论）过渡和发展的纽带和桥梁。上述例证可见，由物质的波粒二象性，可以很自然得到量子化的结论，所以波粒二象性是量子力学理论的基础！•经典粒子：可以同时有确定的位置、速度、动量、能量……其运动是可以用轨迹来描述的。•经典波：有确定的波长，但总是在空间扩展，没有确定的位置•波粒二象性：不可能同时具有确定的位置和动量。如何来确定它们位置、动量等物理量？WernerKarlHeisenberg1901～19761925年建立了量子理论第一个数学描述——矩阵力学1927年阐述了著名的不确定关系海森伯不确定关系的讨论四、不确定关系的几个典型的事例•1、自由粒子•运动状况不受限制的粒子，因而其运动状态不变•速度不变，即动量不变，该粒子速度是一个完全确定的值。•它可在空间任意位置出现，即位置是完全无法确定的。•如果把它看成波，=h/p，波长是完全确定的，即单色波•依据波动光学结论，单色波是一个在空间无限长的波列•由此可见，具有波粒二象性的粒子如果动量完全确定，则位置完全不确定，即如果ΔP=0,必有Δx=∞•2、波包•非单色波的叠加，有一定的波长分布•在空间是有限长的波列，ΔLλ2/Δλ•将其视为粒子，该粒子在空间可能出现的区域，即位置的不确定范围Δx=ΔL，ΔL可以看成波包在空间弥散的范围。•波包有一定的波长分布，而波长与动量相关，把波包看成粒子时，那么粒子动量的不确定范围：2(/)/phh22hxphxphL=Δx=λ2/Δλ所以表明，波包的动量和其空间位置不能同时确定即•时刻为t，中心频率为ν的波包经过空间某一点，中心频率对应的能量•波包能量的不确定度为：●波包传播过空间一点的时间(相干时间)为：•把波包看成粒子，过程可理解为，粒子的能量在E±ΔE/2范围内，且此粒子处于该状态的时间为Δt，则22hcEthcEthL