用零点秒杀两类问题

用零点秒杀两类问题湖南陈永清第1类——变号零点相同模型已知𝑓(𝑥)，g(𝑥)都含参数𝑎，若𝑓(𝑥)g(𝑥)≥0对𝑥∈𝐴恒成立，求参数𝑎的取值范围：抓住𝑓(𝑥)与g(𝑥)在集合𝐴中的变号零点相同是关键（还要注意都无零点的情形）.这一类问题由此破解！例1.设𝑎∈𝐑，若𝑥0时，,(𝑎−1)𝑥−1-(𝑥2−𝑎𝑥−1)≥0恒成立，则𝑎=______．答案：32．解析：显然𝑓(𝑥)=(𝑎−1)𝑥−1与g(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥−1的零点必须相同。对于g(𝑥)=𝑥2−𝑎𝑥−1，由于∆=𝑎2+40，设g(𝑥)的两个零点为𝑥1，𝑥2，因为𝑥1𝑥2=−10，则g(𝑥)必有一个正零点，则由𝑓(𝑥)=0，得𝑥=1𝑎−10，则𝑥=1𝑎−1是g(𝑥)的零点，即g.1𝑎−1/=0，解得𝑎=32．例2.关于𝑥的不等式(𝑎𝑥−1)(ln𝑥+𝑎𝑥)≥0在(0，+∞)上恒成立，则实数𝑎的取值范围是_______.答案：.−∞,−1e]∪*𝑒+.解析：显然𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−1与g(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥的零点必须相同（包含都无零点的情形）。（1）当𝑎0时，𝑓(𝑥)有零点1𝑎，则g.1𝑎/=0，即ln1𝑎+𝑎∙1𝑎=0，得𝑎=𝑒；（2）当𝑎≤0，由于𝑓(𝑥)0（即𝑓(𝑥)无零点），则只需g(𝑥)=ln𝑥+𝑎𝑥≤0，即𝑎≤−ln𝑥𝑥，易得𝑎≤−1𝑒.所以𝑎∈.−∞,−1e]∪*𝑒+.例3.已知函数𝑓(𝑥)=3𝑎𝑥−2(2+𝑎)(𝑥2−1)，若对∀𝑥∈,−√2，√2-，𝑓(𝑥)≤3恒成立，则实数𝑎的取值集合为_______.答案：*−45+.解：𝑓(𝑥)≤3⟺𝑎(2𝑥2−3𝑥−2)−(1−4𝑥2)≥0⟺(2𝑥+1)(𝑥−2)𝑎−(1−2𝑥)(1+2𝑥)≥0，⟺(2𝑥+1),(𝑥−2)𝑎−(1−2𝑥)-≥0，对𝑥∈,−√2，√2-恒成立则函数2𝑥+1与函数(𝑥−2)𝑎−(1−2𝑥)的零点相同，所以.−12−2/𝑎−(1−2×.−12/)=0，解得𝑎=−45.例4.若不等式𝑚2𝑥−1(𝑚𝑥+1)(𝑥−𝑚)0对𝑥≥4恒成立，则实数𝑚的取值范围是_______.答案：(12,4).解析：{1𝑚24−1𝑚4𝑚4⇒12𝑚4.（分子、分母的三个函数的零点都不能在定义域内，这样，分子、分母中的三个函数都恒正，不等式恒成立。）例5.若存在实数𝑎，对于任意实数𝑥∈,0,𝑚-，均有(sin𝑥−𝑎)(√3cos𝑥−𝑎)≤0，则实数𝑚的最大值为（）A.π4B.π3C.2π3D.3π4.答案：C.解析：由𝑦=sin𝑥−𝑎与𝑦=√3cos𝑥−𝑎的变号零点相同，得sin𝑥=√3cos𝑥，则可取𝑥=𝜋3，所以𝑎=√32，作出𝑦=sin𝑥与𝑦=√3cos𝑥的图象及𝑦=√32的图象（此处略），由于𝑦=sin𝑥与𝑦=√3cos𝑥的图象上每一对横坐标相同的点在区间,0,𝑚-上都要分布在直线𝑦=√32的两侧或直线上，易得𝑚的最大值为2𝜋3.第2类——两边零点比大小模型一、用零点解决双参数比值的最值或取值范围问题（道高一尺，魔高一丈）由𝑎𝑥+𝑏≤𝑓(𝑥)（常为凹函数）或𝑎𝑥+𝑏≥𝑓(𝑥)（常为凸函数）恒成立，求𝑏𝑎的最值或取值范围，这个问题，常为各地高三模拟压轴客观题。根据数形结合的思想，问题只与函数𝑦=𝑓(𝑥)（往往具有凹凸性）和𝑦=𝑎𝑥+𝑏的两个零点大小有关（或者说与它们和𝑥轴交点的横坐标的相对位置有关）；由图得出两个零点的大小关系，就可以解决问题。应该注意到在这样的题型中，𝑎,𝑏∈𝑅具有∃𝑎∈𝑅，𝑏∈𝑅的含义，即存在直线在曲线的下方，使得𝑎𝑥+𝑏≤𝑓(𝑥)（凹函数）恒成立（如图1）；或存在直线在曲线的上方，使得𝑎𝑥+𝑏≥𝑓(𝑥)（凸函数）恒成立（如图2）。显然等号成立时，处于相切状态。而当直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏与𝑥轴交点在曲线包围的区域中时，是不可能存在实数𝑎,𝑏满足恒成立要求的，如图1、2中虚线所示。正所谓：一招石破天，惊煞命题人！𝑥1为函数𝑓(𝑥)的零点，𝑥2为𝑦=𝑎𝑥+𝑏的零点.(𝑥2必须要含参数)两边零点比大小模型其中𝒇(𝒙)具有凹凸性是关键.𝑥1𝑥2图1图2𝑥1𝑥2例1.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥+(𝑒−𝑎)𝑥−2𝑏，若不等式𝑓(𝑥)≤0对𝑥∈(0,+∞)恒成立，则𝑏𝑎的最小值为_________.答案：−12𝑒.解析：（法1）显然𝑓(𝑥)不为单调函数，𝑓′(𝑥)=1𝑥+(𝑒−𝑎)=1−(𝑎−𝑒)𝑥𝑥，易知𝑥=1𝑎−𝑒(𝑎𝑒)为𝑓(𝑥)的极大值点，所以只需𝑓.1𝑎−𝑒/=−ln(𝑎−𝑒)−1−2𝑏≤0，即2𝑏≥−ln(𝑎−𝑒)−1，所以𝑏𝑎≥−12∙,ln(𝑎−𝑒)+1-𝑎.令ℎ(𝑎)=−12∙,ln(𝑎−𝑒)+1-𝑎，则ℎ′(𝑎)=−12∙𝑒𝑎−𝑒−ln(𝑎−𝑒)𝑎2，注意到ℎ′(2𝑒)=0，易知𝑎=2𝑒为ℎ(𝑎)的极小值点，ℎ(2𝑒)=−12𝑒.所以𝑏𝑎≥−12𝑒.（法2）𝑓(𝑥)≤0⟺ln𝑥+𝑒𝑥≤𝑎𝑥+2𝑏，作出𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑒𝑥的图象，曲线𝑓(𝑥)与𝑥轴交于点(1𝑒,0)，又直线𝑦=𝑎𝑥+2𝑏与𝑥轴交于点(−2𝑏𝑎,0)，要满足题意，则−2𝑏𝑎≤1𝑒（两边零点比大小模型），所以𝑏𝑎≥−12𝑒.评析：比较两种解法，显然用“两边零点比大小模型”更快捷。例2.已知函数𝑓(𝑥)=ln𝑥−(𝑎−𝑒)𝑥+𝑏，当𝑥0时，𝑓(𝑥)≤0恒成立，则𝑏𝑎的最大值为_______.答案：1𝑒.解析：𝑓(𝑥)≤0⟺ln𝑥+𝑒𝑥≤𝑎𝑥−𝑏，作出𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑒𝑥的图象，曲线𝑓(𝑥)与𝑥轴交于点(1e,0)，又直线𝑦=𝑎𝑥−𝑏与𝑥轴交于点(𝑏𝑎,0)，要满足题意，则𝑏𝑎≤1𝑒（两边零点比大小模型），.例3.已知ln.𝑥+1𝑎/≤2𝑎𝑥+𝑏对∀𝑥∈(−1𝑎，+∞）恒成立，则𝑏𝑎的最小值为_______.答案：−2𝑒2.解析：令𝑡=𝑥+1𝑎，则𝑡0，则题设等价于ln𝑡≤2𝑎.𝑡−1𝑎/+𝑏对∀𝑡∈(0，+∞）恒成立，又等价于ln𝑡+2≤2𝑎𝑡+𝑏(𝑡0)恒成立，则−𝑏2𝑎≤1𝑒2（两边零点比大小模型），所以𝑏𝑎≥−2𝑒2.变式：已知𝑥+1𝑎≤e2𝑎𝑥+𝑏对∀𝑥∈(−1𝑎，+∞）恒成立，则𝑏𝑎的最小值为_______.答案：同上解析：不等式两边取对数以后，后续过程同上。例4.已知𝑒𝑥−𝑎𝑥−𝑏−12≥0恒成立，则𝑏𝑎的最大值为_______；当𝑏取最大值时，𝑎=______.答案：ln2；1.解析：𝑒𝑥−𝑎𝑥−𝑏−12≥0⟺𝑒𝑥−12≥𝑎𝑥+𝑏，𝑦=𝑒𝑥−12的零点为ln12，𝑦=𝑎𝑥+𝑏的零点为−𝑏𝑎，−𝑏𝑎≥ln12（两边零点比大小模型），则𝑏𝑎≤ln2；又曲线𝑦=𝑒𝑥−12在𝑦轴上的截距为12，则𝑏≤12；当𝑏=12时，直线𝑦=𝑎𝑥+𝑏应为曲线𝑦=𝑒𝑥−12的切线，易得𝑎=1.例5.已知𝑓(𝑥)=𝑒𝑥+1−𝑎𝑚，g(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−𝑥．若存在实数𝑎，使得𝑓(𝑥)≤g(𝑥)对𝑥∈𝑅恒成立，则实数𝑚的取值范围是________.答案：,−1e,+∞).解析：𝑓(𝑥)≤g(𝑥)⟺𝑒𝑥+1+𝑥≤𝑎(𝑚+𝑒𝑥)，令𝑒𝑥=𝑡，则𝑥=ln𝑡，所以问题又等价于𝑒𝑡+ln𝑡≤𝑎(𝑡+𝑚)对𝑡0恒成立，直线𝑦=𝑎(𝑡+𝑚)交𝑥轴于点(−𝑚,0)，曲线𝑦=𝑒𝑡+ln𝑡交𝑥轴于点(1e,0)，要满足题设，则−𝑚≤1𝑒（两边零点比大小模型），即𝑚≥−1𝑒.例6.已知𝑒𝑎𝑥+𝑏−ln(𝑥+𝑎)≥2在(−𝑎,+∞)上恒成立，则𝑎−𝑏𝑎的最大值是_______.答案：1𝑒.解析：令𝑥+𝑎=𝑡，则𝑥=𝑡−𝑎，且𝑡0。则命题等价于𝑒𝑎(𝑡−𝑎)+𝑏≥2+ln𝑡(𝑡0)恒成立，则只需𝑎𝑡−𝑎2+𝑏≥ln(2+ln𝑡)对𝑡1𝑒2恒成立，而𝑦=𝑎𝑡−𝑎2+𝑏的零点为𝑎−𝑏𝑎，𝑦=ln(2+ln𝑡)的零点为1𝑒，则𝑎−𝑏𝑎≤1𝑒（两边零点比大小模型）.例7.已知不等式𝑘𝑥+𝑏≥ln(𝑥+4)对∀𝑥−4恒成立，则𝑏𝑘的最小值为_______.答案：3.解析：作出𝑓(𝑥)=ln(𝑥+4)的图象，曲线𝑓(𝑥)与𝑥轴交于点(−3,0)，又直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏与𝑥轴交于点(−𝑏𝑘,0)，要满足题意，则−𝑏𝑘≤−3（两边零点比大小模型），所以𝑏𝑘≥3.例8.已知𝑎,𝑏∈𝑅，若不等式|ln𝑥−𝑎𝑥−𝑏|≥1对𝑥0恒成立，则𝑏𝑎的最小值为______答案：−1𝑒.解析：|ln𝑥−𝑎𝑥−𝑏|≥1⟺(ln𝑥−𝑎𝑥−𝑏−1)(ln𝑥−𝑎𝑥−𝑏+1)≥0，令𝑓(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥−𝑏−1，g(𝑥)=ln𝑥−𝑎𝑥−𝑏+1.由于𝑓(𝑥)g(𝑥)，所以只能是g(𝑥)≤0恒成立，或𝑓(𝑥)≥0恒成立.由g(𝑥)≤0恒成立，即ln𝑥+1≤𝑎𝑥+𝑏恒成立，所以−𝑏𝑎≤1𝑒（两边零点比大小模型），即𝑏𝑎≥−1𝑒.由𝑓(𝑥)≥0恒成立，即ln𝑥−1≥𝑎𝑥+𝑏恒成立，显然不可能（数形结合想一想）.故𝑏𝑎≥−1𝑒.例9.若不等式𝑒𝑎𝑥≥𝑏2𝑥+𝑏3对𝑥∈𝑅恒成立，其中𝑎∈𝑅,𝑏0，则𝑎(1−𝑏2)的最小值为______.答案：−1𝑒.解析：显然𝑎0，𝑒𝑎𝑥≥𝑏2𝑥+𝑏3⟺𝑒𝑎𝑥−ln𝑏≥𝑏𝑥+𝑏2⟺𝑎𝑥−ln𝑏≥ln(𝑏𝑥+𝑏2)，则ln𝑏𝑎≤1−𝑏2𝑏⟺𝑎(1−𝑏2)≥𝑏ln𝑏（两边零点比大小模型），用导数法可得𝑏ln𝑏≥−1𝑒，所以𝑎(1−𝑏2)≥−1𝑒.二、明知山有虎，偏向虎山行两边零点比大小模型，有时候也能解决只有一个参数的最值或取值范围问题。如例10—例13.两边零点比大小模型，如果在定义域人为限制的情况下，导致𝑓(𝑥)没有零点，此时可以考虑凑出零点——凑成以定义域端点为零点（对不等式进行等价变形哦）。——这种情形应该说难度较大。如例14—例15.例10.已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑒𝑥−ln𝑥−1.若𝑓(𝑥)≥0恒成立，求实数𝑎的取值范围.答案：,1e,+∞).解析：𝑎𝑒𝑥−ln𝑥−1≥0⟺𝑎𝑒𝑥≥ln𝑥+1(𝑥0)⟺ln𝑎+𝑥≥ln(ln𝑥+1)(𝑥1𝑒)，只需−ln𝑎≤1（两边零点比大小模型），可得𝑎≥1𝑒.例11.对∀𝑥0，不等式2𝑎𝑒2𝑥−ln𝑥+ln𝑎≥0恒成立，则实数𝑎的最小值为（）A.2√𝑒B.12√𝑒C.2𝑒D.12𝑒答案：D.解析：2𝑎𝑒2𝑥−ln𝑥+ln𝑎≥0⟺2𝑎𝑒2𝑥≥ln𝑥𝑎(𝑥0)⟺ln(2𝑎)+2𝑥≥ln.ln𝑥𝑎/(𝑥𝑎)，只需−12ln(2𝑎)≤𝑎𝑒（两边零点比大小模型），即ln(2𝑎)+2𝑒𝑎≥0，由于𝑓(𝑎)=ln(2𝑎)+2𝑒𝑎为增函数