函数的单调性与曲线的凹凸性

一、单调性的判别法xyo)(xfyxyo)(xfyabAB0)(xf0)(xfabBA事实上，由导数的定义和极限的保号性，我们可以严格证明：若)(xf在区间],[ba上连续且单调增加（减少），在),(ba内可导，则对任意的),(bax，有)0(0)(xf。机动目录上页下页返回结束。上单调减少在，那么函数内如果在上单调增加；在，那么函数内如果在）（。内可导上连续，在在设函数],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1),(],[)(baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy定理1定理中的],[ba换成其它类型的区间（包括无穷区间），结论也成立。机动目录上页下页返回结束证),,(,21baxx,21xx且应用拉格朗日中值定理，得)())(()()(211212xxxxfxfxf,012xx,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调增加在baxfy,0)(),(xfba内，若在,0)(f则).()(12xfxf.],[)(上单调减少在baxfy机动目录上页下页返回结束例1解.1的单调性讨论函数xeyx.1xey,)0,(内在,0y函数单调减少；,),0(内在,0y.函数单调增加注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．).,(:D又机动目录上页下页返回结束1xey1xeyx说明：1.此定理只给出了函数在某个区间上单调的充分条件，而不是必要条件。2.区间内个别点导数为零或导数不存在,不影响区间的单调性.只需用导数为零或导数不存在的点来划分定义区间，就能保证函数的各个部分区间内保持固定的符号，从而使函数在各个部分区间上单调。又例,00xy.),(上单调增加但在,3xy不存在03|,xyxy例如.),(上单调增加但在机动目录上页下页返回结束定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点．方法:.,)()(0)(数的符号然后判断区间内导的定义区间来划分函数不存在的点的根及用方程xfxfxf机动目录上页下页返回结束例2解.31292)(23的单调区间确定函数xxxxf).,(:D12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，解方程0)(xf.2,121xx时，当1x,0)(xf上单调增加；在]1,(时，当21x,0)(xf上单调减少；在]2,1[时，当x2,0)(xf上单调增加；在),2[单调区间为，]1,(，]2,1[).,2[机动目录上页下页返回结束例3解.)(32的单调区间确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3xxxf.,0导数不存在时当x时，当0x,0)(xf上单调增加；在),0[时，当x0,0)(xf上单调减少；在]0,(单调区间为，]0,().,0[32xy机动目录上页下页返回结束例4证.)1ln(,0成立试证时当xxx),1ln()(xxxf设.1)(xxxf,0)(),0(,),0[)(xfxf可导，且上连续在上单调增加；在),0[,0)0(f时，当0x,0)1ln(xx).1ln(xx即机动目录上页下页返回结束例5证xxxxxxf11ln)1ln(11)11ln()(设.11)11ln(,0成立试证时当xxx22)1(1)1(1111)(xxxxxxf0单减)(xf0)(limxfx又因为0)(0xfx时，则.11)11ln(xx即机动目录上页下页返回结束例6证)10(21sin2xxxex试证)21(sin)(2xxexfx设0)0()(fxf则上单调减少；在]1,0[)(xf,0)0(fxxexfxcos)(,0)0(f1sin)(xexfx)10(0x上单调减少；在]1,0[)(xf0)0()(fxf则)10(21sin2xxxex即机动目录上页下页返回结束)(xf可以再求例7证明：当1x时，有xx132机动目录上页下页返回结束证明xxxf132)(设211)(xxxf则)1(12xxx,),1[)(内连续在因xf,0)(),1(xf内在,),1[)(上单调增加在所以xf,1时从而当x0)1()(fxfxx132即例8证明：当)2,0(x时，有xxxsin2机动目录上页下页返回结束证明1利用单调性证：,2sin)(xxxf设,)2,0(x,2cos)(xxf,0)2,0(,sin2xxx即xxfsin)(021)0()(fxf则,]2,0[)(上单调减少在xf,]2,0[)(上单调增加在xf0)0()(fxf则例8证明：当)2,0(x时，有xxxsin2机动目录上页下页返回结束证明2利用单调性证,sin2)(xxxf设,],0(时则当2x)sincos(2)(2xxxxπxf)tan(cos22xxxx0,],0(时则当2x1)2()(fxf)2,0(,sin2xxx即机动目录上页下页返回结束证明3利用中值定理证,sin2)(xxxf设,),0(2x任取,]2,[上用中值定理在x使得存在,)2,(x)2π()()2π()(xffxf0)2)(tan(cos21sin22πxξξξξπxxπ即)2,0(,sin2xxx即例9证明：当0x时，有xex1机动目录上页下页返回结束证明1利用单调性证,1)(xexfx设，则1)(xexf,00)(xxf的点只有使列表x0_0+0)0,(),0()(xf)(xf，的最小值是则)(0)0(xff，时且当0x，0)0()(fxfxex1即机动目录上页下页返回结束证明2利用中值定理证，设xexf)(，时当0x由中值定理知，使之间的点存在,,0x，xxxe)0(eee0xxe1e即,0,0)1(xx则若,0ee,xxexxxe1e故xx1e即,0,0)2(xx则若,0ee,xxexxxe1e故xx1e即机动目录上页下页返回结束证明3利用泰勒公式证).10(!212xexexx，时当0xxex1二、曲线的凹凸性问题:如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy图形上任意弧段位于所张弦的上方xyo)(xfy1x2x图形上任意弧段位于所张弦的下方ABC机动目录上页下页返回结束．（或凸弧）的上的图形是（向上）凸在那么称如果恒有（或凹弧）的上的图形是（向上）凹在那么称恒有意两点上任如果对上连续在区间设IxfxfxfxxfIxfxfxfxxfxxIIxf)(,2)()()2(;)(,2)()()2(,,,)(2121212121定义机动目录上页下页返回结束xyo)()()1(21xfxf1x2x21)1(xx])1[(21xxfxyo1x2x21)1(xx])1[(21xxf)()()1(21xfxf机动目录上页下页返回结束设曲线方程为)(xfy，那么介于21,xx之间的任意点x可以表示为：21)1(xxx，)10(又弦的方程为)()()()(221212xfxxxxxfxfy，把21)1(xxx代入上式，得)()()1(21xfxfy定义1：设函数)(xf在区间I内有定义。1．如果对任意的Ixx21,)(21xx，对任一)1,0(，总有)()()1(])1[(2121xfxfxxf，则称函数)(xf在I上的图形是凹的；2．如果对任意的Ixx21,)(21xx，对任一)1,0(，总有)()()1(])1[(2121xfxfxxf，则称函数)(xf在I上的图形是凸的；机动目录上页下页返回结束xyo)(xfyxyo)(xfyabABabBA机动目录上页下页返回结束1x))(,(11xfx1x))(,(11xfx2x))(,(22xfx2x))(,(22xfx设曲线方程为)(xfy，那么点))(,(11xfx的切线方程为：))(()(111xxxfxfy，处则在点2x）（1）（2，对图)1())(()()(12112xxxfxfxf，对图)2())(()()(12112xxxfxfxf定义2：设函数)(xf在区间I内可导。1．如果对任意的Ixx21,)(21xx，都有))(()()(12112xxxfxfxf，则称函数)(xf在I上的图形是凹的；2．如果对任意的Ixx21,)(21xx，都有))(()()(12112xxxfxfxf，则称函数)(xf在I上的图形是凸的；机动目录上页下页返回结束xyo)(xfyxyo)(xfyabAB递增)(xfabBA0y递减)(xf0y定理2.)(,0)()2(;)(,0)()1()(内的图形是凸的在则内的图形是凹的在则都有，任意的若对。内具二阶导数区间在设IxfxfIxfxfIxIxf机动目录上页下页返回结束证明1：证（1）任取Ixx21,，不妨设21xx，)1,0(，令210)1(xxx，则201xxx。由微分中值定理，有01101)()()(xxfxfxf)(011xx，02202)()()(xxfxfxf)(210xx，则)()()1(21xfxf)()())(1)(()(0220110xxfxxfxf。由210)1(xxx，可推出机动目录上页下页返回结束代入上式得)()()1(21xfxf)]()()[)(1()(12120ffxxxf。)(1201xxxx))(1(1202xxxx由于201x，)(xf单调增加)0)((xf，故0)()(12ff，又0)1(，012xx，则])1[()()()()1(21021xxfxfxfxf，由的任意性，证明了（1）。同理可以证明（2）。机动目录上页下页返回结束证明2：证（1）任取Ixx21,，在1x处有带拉格朗日余项的泰勒公式：机动目录上页下页返回结束21111!2)()()()(xxfxxxfxfxf其中Ix，介于1,xx之间。21212112!2)()()()(xxfxxxfxfxf于是现令,2xx,0)(xf,0)(f,0)(!2)(212xxf,)()()(12112xxxfxfxf由定义2，(1)成立。同理可以证明(2)。例10.3的凹凸性判断曲线xy解,32xy,6xy时，当0x,0y为凸的；在曲线]0,(时，当0x,0y为凹的；在曲线),0[.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点注意到,机动目录上页下页返回结束推论：则下列条件等价：。内有二阶导数