函数的图像与性质(高考版)

高考巡航高考对本部分考查主要从以下几方面进行：(1)对于函数性质的考查往往综合多个性质，一般借助的载体为二次函数、指数函数、对数函数或者由基本的初等函数复合而成，尤其在函数单调性、奇偶性和周期性等性质的综合问题上应重点加强训练．(2)对于函数图象的考查比较灵活，涉及知识点较多，且每年均有创新，试题的考查突出表现在三方面，一是在解决与性质相关的问题中使用函数图象，体现数形结合思想方法；二是给出一个较复杂函数的解析式求其对应的图象；三是根据所给的图象来判断函数的内在信息.核心梳理[知识回顾]一、概念1．函数图象的变换规律①平移变换a．将y＝f(x)的图象向左(a0)或向右(a0)平移|a|个单位，得到y＝f(x＋a)的图象．b．将y＝f(x)的图象向上(b0)或向下(b0)平移|b|个单位，得到y＝f(x)＋b的图象．②对称变换a．作y＝f(x)关于y轴对称图象得到y＝f(－x)的图象．b．作y＝f(x)关于x轴对称图象得到y＝－f(x)的图象．c．作y＝f(x)关于原点对称图象得到y＝－f(－x)的图象．d．将y＝f(x)在x轴下方的图象翻折到上方，与y＝f(x)在x轴上方的图象合起来得到y＝|f(x)|的图象．e．将y＝f(x)在y轴左侧部分去掉，再作右侧关于y轴的对称图象合起来得到y＝f(|x|)的图象．2．函数的性质①单调性．f(x)在区间D上是增函数⇔任意x1，x2∈D，x1≠x2，fx1－fx2x1－x20.⇔任意x1，x2∈D，x1≠x2，[f(x1)－f(x2)](x1－x2)0.②对称性．函数f(x)的定义域为I，若对∀x∈I，满足(1)f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称．(2)f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称．③周期性．对函数f(x)的定义域内的任意一个x，满足(1)f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a.(2)f(x＋a)＝kfx，则T＝2a.二、重要公式已知a0且a≠1，b0且b≠1，M0，N0.am·an＝am＋nloga(MN)＝logaM＋logaNlogaN＝logbNlogba(am)n＝am·nlogaMN＝logaM－logaN(ab)mam·bmalogaN＝N.[专题回访]1．函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0,1)B．[0,1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：由题意可得x2－x0，解得x1或x0，所以所求函数的定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：C2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}C．{2－7，1,3}D．{－2－7，1,3}解析：当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－7(正根舍去)．故选D.答案：D3．已知实数a≠1，函数f(x)＝4x，x≥02a－x，x0，若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．解析：当a1时，41－a＝21，a＝12，当a1时，代入不成立．答案：124．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能．．．的是()B解析：令a＝0，则函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a分别为y＝－x与y＝x，对应的图象是选项D中的图象．记f(x)＝ax2－x＋a2，g(x)＝a2x3－2ax2＋x＋a，取a＝12，则g(0)f(0)0.而f(x)＝12x2－x＋14＝12(x－1)2－14，令g′(x)＝0，得x＝23，2，易知g(x)在区间－∞，23和(2，＋∞)上单调递增，在区间23，2上单调递减，所以g(x)的极小值为g(2)＝122×23－2×12×22＋2＋12＝12，又f(2)＝12×22－2＋14＝14，所以g(2)f(2)，所以选项A中的图象有可能．取a＝2，则g(0)f(0)0，令g′(x)＝0，得x＝16，12，易知g(x)在区间－∞，16和12，＋∞上单调递增，在区间16，12上单调递减，所以g(x)的极小值为g12＝4×123－4×122＋12＋2＝2，又f(x)＝2x2－x＋10，f12＝2×122－12＋1＝1，所以g12f12，所以选项C中的图象有可能．利用排除法选B.5．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式是________．答案：f(x)＝x＋1，x∈[－1，0]14x－22－1，x∈0，＋∞解析：当x∈[－1,0]时，设y＝kx＋b，由图象得－k＋b＝0k×0＋b＝1，解得k＝1b＝1，所以y＝x＋1.当x0时，设y＝a(x－2)2－1，由图象得0＝a(4－2)2－1，解得a＝14，所以y＝14(x－2)2－1.综上可知，f(x)＝x＋1，x∈[－1，0]14x－22－1，x∈0，＋∞.热点追踪热点考向一函数的概念及其表示[典例1](1)已知函数f(x)＝x2＋1，x0，cosx，x≤0，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数B．f(x)是增函数C．f(x)是周期函数D．f(x)的值域为[－1，＋∞)(2)设函数f(x)＝2x，x≤0log2x，x0，若对任意给定的t∈(1，＋∞)，都存在唯一的x∈R，满足f(f(x))＝2a2t2＋at，则正实数a的最小值是()A．2B.12C.14D.18DB[自主解答](1)因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x0时，f(x)1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，故选D.(2)根据f(x)的解析式易知其值域为R，又当x≤0时，f(x)＝2x的值域为(0,1]；当x0时，f(x)＝log2x的值域为R，∴要想在t∈(1，＋∞)上存在唯一的x∈R满足f(f(x))＝2a2t2＋at，必有f(f(x))1(∵2a2t2＋at0)，∴f(x)2，解得x4，当x4时，x与f(f(x))存在一一对应的关系，∴2a2t2＋at1，t∈(1，＋∞)，且a0，∴(2at－1)(at＋1)0，解得t12a或t－1a(舍去)，∴12a≤1，∴a≥12，故选B.[方法规律](1)求函数定义域实质是解不等式或不等式组，注意相关不等式的解法．(2)在分段函数中求解形如f(g(x))的函数，要遵循先内后外的原则，在不确定自变量在哪一段时应注意分类讨论.热点考向二函数的图象及其应用[典例2](1)如图是张大爷离开家晨练过程中离家距离y与行走时间x的函数y＝f(x)的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷行走的路线可能是()D(2)若对任意的x∈R，y＝1－a|x|均有意义，则函数y＝loga1x的大致图象是()B[自主解答](1)由图象知，张大爷晨练时，离家的距离y随行走时间x的变化规律是先匀速增加，中间一段时间保持不变，然后匀速减小，故选D.(2)由题意得1－a|x|≥0，即a|x|≤1＝a0恒成立，由于|x|≥0，故0a1.y＝loga1x＝－loga|x|是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增函数，故选B.[方法规律]作图、识图、用图的方法技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)与y＝f(－x)，y＝－f(x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|及y＝af(x)＋b的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.热点考向三函数的性质及应用[典例3]已知定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，不等式f(ax＋1)≤f(x－2)对任意的x∈12，1恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－2,0]B．[－3，－1]C．[－5，－1]D．[－2,1]A[自主解答]通解：f(ax＋1)≤f(x－2)⇔f(|ax＋1|)≤f(|x－2|)⇔|ax＋1|≤|x－2|，所以(a2－1)x2＋(2a＋4)x－3≤0对任意的x∈12，1恒成立，当a2－1≥0，即a≥1或a≤－1时，14a2－1＋122a＋4－3≤0a2－1＋2a＋4－3≤0，得－2≤a≤－1；当a2－10，即－1a1时，令g(x)＝(a2－1)x2＋(2a＋4)x－3，则其对称轴为x＝－2a＋42a2－1＝a＋21－a21恒成立，所以a2－1＋2a＋4－3≤0，得－1a≤0.综上，实数a的取值范围是[－2,0]，故选A.[方法规律]函数性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x)．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间的问题，转化到已知区间求解．专能提升1.(热点一)函数y＝log5x＋15－x的定义域是________．(－1,5)解析：由x＋105－x0，得－1x5，∴函数y＝log5x＋15－x的定义域是(－1,5)．2．(热点三)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈(0,1)时，f(x)＝，则f(x)在区间1，32内是()A．增函数且f(x)0B．增函数且f(x)0C．减函数且f(x)0D．减函数且f(x)0D解析：由f(x)为奇函数，f(x＋1)＝f(－x)得，f(x)＝－f(x＋1)＝f(x＋2)，∴f(x)是周期为2的周期函数．根据条件，当x∈12，1时，f(x)＝log12x－12，x－2∈－32，－1，－(x－2)∈1，32，∴f(x)＝f(x－2)＝－f(2－x)＝log12x－12.设2－x＝t，则t∈1，32，x＝2－t，∴－f(t)＝log1232－t，∴f(t)＝－log1232－t，∴f(x)＝－log1232－x，x∈1，32，可以看出当x增大时，32－x减小，log1232－x增大，f(x)减小，∴在区间1，32内，f(x)是减函数．而由1x32得032－x12.∴log1232－x1，∴f(x)0.故选D.3．(热点三)若关于x的函数f(x)＝tx2＋2x＋t2＋sinxx2＋t(t0)的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝4，则实数t的值为________．2解析：由已知f(x)＝tx2＋2x＋t2＋sinxx2＋t＝t＋2x＋sinxx2＋t，而函数y＝2x＋sinxx2＋t为奇