因式分解方法大全

因式分解方法大全（一）因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中。因式分解是将一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫因式分解或分解因式。它与整式乘法是方向相反的变形，是有效解决许多数学问题的工具。因式分解方法灵活，技巧性强。初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法。因式分解的主要方法：⑴提公因式法；⑵运用公式法；⑶分组分解法；⑷十字相乘法；⑸添项折项法；⑹配方法；⑺求根法；⑻特殊值法；⑼待定系数法；⑽主元法；⑾换元法；⑿综合短除法等。一、提公因式法：()mambmcmabc二、运用公式法：⑴平方差公式：22()()ababab⑵完全平方公式：2222()aabbab⑶立方和公式：3322()()ababaabb（新课标不做要求）⑷立方差公式：3322()()ababaabb（新课标不做要求）⑸三项完全平方公式：2222222()abcabacbcabc⑹3332223()()abcabcabcabcabbcac三、分组分解法.㈠分组后能直接提公因式例：分解因式：bxbyayax5102解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式=)5()102(bxbyayax原式=)510()2(byaybxax=)5()5(2yxbyxa=)2(5)2(baybax=)2)(5(bayx=)5)(2(yxba㈡分组后能直接运用公式或提公因式例：分解因式：2222cbaba解：原式=222)2(cbaba=22)(cba=()()abcabc四、十字相乘法.凡是能十字相乘的二次三项式2axbxc，都要求240bac而且是一个完全平方数。㈠二次项系数为1的二次三项式：2xbxc，条件：如果存在两个实数p、q，使得cpq且bpq，那么2()()xbxcxpxq例1、分解因式：652xx分析：将6分解成两个数的积，且这两个数的和等于5。由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。12解：652xx=32)32(2xx13=)3)(2(xx1×2+1×3=5㈡二次项系数不为1的二次三项式——cbxax2条件：（1）21aaa1a1c（2）21ccc2a2c（3）1221cacab1221cacab分解结果：cbxax2=))((2211cxacxa例2、分解因式：101132xx分析：1-23-5（-6）+（-5）=-11解：101132xx=)53)(2(xx㈢二次项系数为1的齐次多项式例3、分解因式：2286nmnm解：原式=2m[(2n)(4n)]m(2n)(4n)1-2n=(m2n)(m4n)1-4n（-2n）+（-4n）=-6n㈣二次项系数不为1的齐次多项式例4、22672yxyx1-2y2-3y(-3y)+(-4y)=-7y解：原式=)32)(2(yxyx五、添项、拆项法：（1）、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例1、因式分解32422baba解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），解：32422baba224241abab22(44)(21)aabb22(2)(1)ab(1)(3)abab例2、因式分解611623xxx解析：根据多项式的特点,把26x拆成2242xx；把x11拆成xx38解：611623xxx322(2)(48)(36)xxxxx2(2)4(2)3(2)xxxxx2(2)(43)xxx(1)(2)(3)xxx（2）、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。例3、因式分解444yx解析：根据多项式的特点,在444yx中添上22224,4yxyx两项，解：444yx422422(44)4xxyyxy2222(2)(2)xyxy2222(22)(22)xxyyxxyy例4、因式分解4323xx解析：根据多项式的特点，将23x拆成224xx，再添上xx4,4两项，则解：4323xx3224444xxxxx22(44)(44)xxxxx2(44)(1)xxx2(1)(2)xx六、配方法。对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。例：分解因式2672xx解：2672xx269972xx22(3)9x(39)(39)xx(12)(6)xx