2011届高考数学对数与对数函数复习

要点梳理1.对数的概念（1）对数的定义如果ax=N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中____叫做对数的底数,____叫做真数.§2.7对数与对数函数基础知识自主学习aNx=logaN（2）几种常见对数2.对数的性质与运算法则（1）对数的性质①=_____;②logaaN=_____(a0且a≠1).对数形式特点记法一般对数底数为a(a0且a≠1)_______常用对数底数为__________自然对数底数为__________elnNlgNlogaN10NaalogNN（2）对数的重要公式①换底公式:(a,b均大于零且不等于1)；②推广logab·logbc·logcd=______.bNNaablogloglog,log1logabbalogad(3)对数的运算法则如果a0且a≠1,M0,N0,那么①loga(MN)=______________;②=______________;③logaMn=___________(n∈R);④logaM+logaNlogaM-logaNNMalognlogaM.loglogMmnManam3.对数函数的图象与性质a10a1图象性质(1)定义域:__________(2)值域:_____(3)过点_______,即x=___时,y=___(4)当x1时,_____当0x1时,_______(4)当x1时,_______当0x1时,_____(5)是(0，+∞)上的___________(5)是(0，+∞)上的____________R(0,+∞)(1,0)y0y0y0y010增函数减函数4.反函数指数函数y=ax与对数函数_________互为反函数，它们的图象关于直线_________对称.y=logaxy=x基础自测1.（2009·湖南理）若log2a0,则（）A.a1,b0B.a1,b0C.0a1,b0D.0a1,b0解析∵log2a0=log21,∴0a1.∵∴b0.,1)21(b,)21(1)21(0bD2.已知log7[log3(log2x)]=0，那么等于（）A.B.C.D.解析由条件知log3(log2x)=1,∴log2x=3,∴x=8,∴21x31634233.4221xC3.若a=0.32,b=log20.3,c=20.3,则a,b,c的大小关系是（）A.abcB.acbC.bcaD.bac解析a=0.32∈(0,1),b=log20.30,c=20.3∈(1,+∞),∴bac.D4.设a1，函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为则a等于（）A.B.2C.D.4解析根据已知条件loga2a-logaa=整理得：loga2=则即a=4.,21222,21,21,221aD5.函数的定义域是_______.解析要使有意义需使∴03x-2≤1,即x≤1,∴的定义域为)23(log21xy)23(log21xy,0)23(log21x32)23(log21xy].1,32(]1,32(题型一对数的化简与求值【例1】(1)化简:(2)化简:(3)已知loga2=m,loga3=n,求a2m+n的值.(1)、（2）为化简题目，可由原式联想指数与对数的运算法则、公式的结构形式来寻找解题思路.（3）可先求出2m+n的值，再用公式来求a2m+n的值.题型分类深度剖析;40lg50lg8lg5lg2lg;24log35.0思维启迪解(1)原式=(2)(3)方法一∵loga2=m,∴am=2.∵loga3=n,∴an=3.故a2m+n=(am)2·an=4×3=12.方法二∵loga2=m,loga3=n,.145lg45lg4050lg852lg.241828282822241log4log4log4log34log322215.05.0.1212log3log2log22aaaaaanm（1）在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.探究提高知能迁移1(1)化简(log43+log83)(log32+log92)=________.解析.45)2log23()3log65()22(log)33(log)2log212)(log3log313log21(32213312123322原式45(2)已知3a=5b=A,且则A的值是（）A.15B.C.D.225解析∵3a=5b=A,∴a=log3A,b=log5A,∴=logA3+logA5=logA15=2,∴A2=15,∴A=或A=（舍）.,211baba1115151515B题型二比较大小【例2】(2009·全国Ⅱ理,7)设a=log2π,则（）A.abcB.acbC.bacD.bca(1)引入中间量如“1”或“”比较.(2)利用对数函数的图象及单调性.解析∵a=log2π1,∴ab,ac.∴bc,∴abc.,3log2b,2log3c,12log21,13log2132cb,12lg3lg2log3log2232又思维启迪21A探究提高比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多,①当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较;②若底数不同，真数相同,可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较.知能迁移2比较下列各组数的大小.(1)(2)log1.10.7与log1.20.7;(3)已知比较2b,2a,2c的大小关系.解（1）∵log31=0,log51=0,∴;56log32log53与,logloglog212121cab32log356log5.56log32log53(2)方法一∵00.71,1.11.2,∴0log0.71.1log0.71.2,即由换底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7log1.20.7.(3)∵为减函数，∴bac,而y=2x是增函数，∴2b2a2c.,logloglog212121cab且xy21log,2.1log11.1log17.07.0题型三对数函数的性质【例3】已知函数f(x)=logax(a0,a≠1)，如果对于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|≥1成立，试求a的取值范围.当x∈[3，+∞)时，必有|f(x)|≥1成立,可以理解为函数|f(x)|在区间[3，+∞)上的最小值不小于1.解当a1时，对于任意x∈[3，+∞),都有f(x)0.所以,|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在[3，+∞)上为增函数，∴对于任意x∈[3，+∞),有f(x)≥loga3.思维启迪因此,要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3，+∞)都成立.只要loga3≥1=logaa即可，∴1a≤3.当0a1时，对于x∈[3，+∞),有f(x)0,∴|f(x)|=-f(x).∵f（x）=logax在[3，+∞)上为减函数，∴-f（x）在[3，+∞)上为增函数.∴对于任意x∈[3，+∞)都有|f(x)|=-f(x)≥-loga3.因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈[3，+∞)都成立,只要-loga3≥1成立即可，综上,使|f(x)|≥1对任意x∈[3，+∞)都成立的a的取值范围是(1，3]∪[，1).本题属于函数恒成立问题，即在x∈[3，+∞)时,函数f(x)的绝对值恒大于等于1.恒成立问题一般有两种思路:一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题.这里函数的底数为字母a,因此需对参数a分类讨论..131,31,1log13logaaaaa即31探究提高知能迁移3(1)设f(x)=是奇函数，则使f(x)0的x的取值范围是（）A.(-1,0)B.(0,1)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(1,+∞)解析∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0.解之，得a=-1.∴f(x)=令f(x)0，则∴x∈(-1，0).)12lg(ax.11lgxx,1110xxA(2)已知f(x)=loga[(3-a)x-a]是其定义域上的增函数,那么a的取值范围是（）A.(0,1)B.(1,3)C.(0,1)∪(1,3)D.(3,+∞)解析记u=(3-a)x-a,当1a3时，y=logau在（0，+∞）上为增函数，u=(3-a)x-a在其定义域内为增函数，∴此时f(x)在其定义域内为增函数，符合要求.当a3时，y=logau在其定义域内为增函数，而u=(3-a)x-a在其定义域内为减函数，∴此时f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求.当0a1时，同理可知f(x)在其定义域内是减函数，不符合题意.故选B.B题型四对数函数的综合应用【例4】(12分)已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=log2x的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点O在同一直线上；（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.（1）证明三点在同一条直线上只需证明kOC=kOD;(2)解方程组得x1,x2,代入解析式即可求解.思维启迪（1）证明设点A、B的横坐标分别为x1、x2,由题设知x11,x21,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.因为A、B在过点O的直线上，所以点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),由于log2x1==3log8x1,log2x2=3log8x2,OC的斜率为k1=,loglog228118xxxx2loglog818x,log3log118112xxxx解题示范［2分］［4分］（2）解由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得代入x2log8x1=x1log8x2,得由于x11,知log8x1≠0,故又因x11,解得x1=,于是点A的坐标为利用函数图象和解析几何的思想方法,突出了本题的直观性.将对数的运算融于几何问题，体现了数形结合的思想.探究提高,,log31log3122212xxxx,log3log1811831xxxx,3131xx3).3log,3(8OD的斜率为k2=由此可知k1=k2,即O、C、D在同一直线上.,log3log228222xxxx［6分］［8分］［12分］知能迁移4已知函数是奇函数(a0,a≠1）.(1)求m的值；(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性并加以证明.解（1）∵f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x）在其定义域内恒成立，∴1-m2x2=1-x2恒成立，∴m=-1或m=1（舍去），∴m=-1.11log)(xmxxfa,11log11logxmxxmxaa即（2）由（1）得(a0,a≠1),任取x1,x2∈(1,+∞).设x1x2,令t(x)=∵x11,x21,x1x2,∴x1-10,x2-10,x2-x10.11log)(xxxfa,11xx,)1)(1()(21111)()(,11)(,11)(2112221121222111xxxxxxxxxtxtxxxtxxxt则∴t(x1)t(x2),即∴当a1时，∴f(x)在（1,+∞）上是减函数；当0a1时，∴f(x)在（1,+∞)上是增函数.,11112211xxxx