50随机过程4(1.3)

６Poisson过程计数过程称实随机过程{N(t),t≥0}是计数过程，如果N(t)表示直到t时刻为止发生的某随机事件数．性质①②N(t)是非负整数③④,()0tNt0,()()stNtNs0,()()stNtNs表示时间间隔t-s内发生的随机事件数．实例1.电话交换台的呼叫次数2.放射性裂变的质点数3.发生故障而不能工作的机器数4.通过交通路口的车辆数5.来到某服务窗口的顾客数………..以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也统一看作随时间推移出现的随机点Poisson过程定义若计数过程{N(t),t≥0}满足.(0)0aN.(),0bNtt是平稳的独立增量过程.0,()ctNt服从参数是λt的Poisson分布,即则称计数过程{N(t),t≥0}是参数(强度,比率)为λ的Poisson过程.注：Poisson过程是二阶矩过程，但均值函数不是常数，所以不是正交增量过程.,2,1,0,!)())((kketktNPtk定理设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，则21)(),0,(),0,(,)min(,),,,0(,)min(,),,,0NNNNmtttDtttRststststCststst分布的服从参数为对poisson)()()(,0stsNtNts)2证明1)由定义,显然有.0,)(,)(tttDttmNN又对s≥0,t≥0,不妨设s≤t,则有)]()([E),(tNsNtsRN),min()()])([E())(()]()()]E[(E[)]([E))]()())(0()(E[())]()()())(0()([(E222222tsstsstssstssNsNDsNtNsNsNsNtNNsNsNsNtNNsN)()(),(),(tmsmtsRtsCNNNN2min(,)min(,)stststst是独立增量))()((ksNtNP))0()((kNstNP平稳性))((kstNP由定义,2,1,0,!))(()(kkeststkts0)2对Poisson过程的等价定义称计数过程{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，如果：等价性证明见教材page55-56(0)0{(),0}{()()1}(){()()2}()NNttPNttNtttPNttNtt是平稳的独立增量过程①②③④Poisson过程的到达时间与到达时间间隔分布设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，则N(t)表示时间区间[0,t)内到达的随机点数.到达时间(序列)i令表示第i个随机点的到达时刻,则称},2,1,{nn为Poisson过程的到达时间序列.到达时间间隔(序列)1nnnT令它表示第n-1个随机点与第n个随机点的到达时间间隔,则称},2,1,{nTn为Poisson过程的到达时间间隔(序列)显然有nnTTT21,2,1n1231nn1TnT0t2T关于Poisson过程中的这两个序列的概率分布,有以下结论1nnnT定理(到达时间间隔分布)设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，,1,2,nTn12,,,,nTTT是其到达时间间隔序列，则是相互独立同服从参数为λ的指数分布．证明独立性由于poisson过程是平稳的独立增量过程,所以随机点的到达时间间隔12,,,,nTTT相互独立.下证同分布}{011tTPtFtT）（时，tetNPtTP1}0)({1}{11}{022tTPtFtT）（时，}{12tTPtesNstNPsTtTP1}0)()({1}{111112T1,T2的独立性平稳性时0t}{1tTPntnnnnnetNPsssNsstNPsTsTsTtTP1}0)({1}0)()({1},,{112111112211}{tTPtFnTn）（T1,T2…Tn的独立性平稳性得证定理(到达时间序列分布)设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程,则其到达时间,1,2,nn1(),0()(1)!0,0nnttetftnt服从Γ分布,密度为证明的分布函数,0时tn0)(tFn时0t}{)(tPtFnn})({ntNPtn第n个随机点的到达时刻tnkkekt!)(再求导数tnkknkktektkktetfn!)(!)()(1)!1()()!1()(!)(11nteektektnttnkknktk1(),0()(1)!0,0nnttetftnt所以到达时间序列的密度函数为本题目还可以用特征函数证明,见教材Poisson过程中到达时间的条件分布问题:设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程，如果在[0，t)内仅有一个随机点到达,τ是其到达时间,则该随机点的到达时间τ服从怎样的概率分布?如果在[0，t)内仅有一个随机点到达，则该随机点的到达时间τ服从[0,t)上的均匀分布.即tstNsP)1)((t0事实上,st时,有)1)(()1)(,()1)((tNPtNsPtNsP}0)()(,1)({)(1sNtNsNPtet}1)(,{)(1tNsPtets1)(1)(stesetestst更一般有以下问题设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程,如果在[0,t)内有n个随机点到达，则n个到达时间n21服从怎样的概率分布?定理设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程,如果在[0,t)内有n个随机点到达，则n个到达时间和n个相互独立同服从[0,t)n21上的均匀分布的随机变量U1,U2,…,Un的顺序统计量.)()2()1(有相同分布nUUU即.),,,(),,,()()2()1(21具有相同分布与nnUUU证明的联合概率密度为由已知),,,(21nUUU，，01),,,(21nnntuuuf其它tuuun,,,021的联合概率密度为所以)()2()1(nUUU，，0!),,,(21)(nnntnuuuf其它tuuun210时，有互不相交，则当且各小区间使得取充分小的个到达时间对tuuunkhuuhuuhhhnnkkkkkkknn2121210),2,1](,[,,,,,))(())(),(())()((11ntNPntNhuuPntNhuuPkkkknknkkkkk1212(()1,()1,,()1,()0)(())nnPNhNhNhNthhhPNtnnntnhhthnhhhhhtnneteehehehnn21)(21!!/)(121的密度函数为所以),,,(21n，，0!),,,(21nntnuuup其它tuuun210.),,,(),,,()()2()1(21具有相同分布与即nnUUU例假设乘客按照参数为λ的Poisson过程来到一个火车站乘坐某次火车，若火车在时刻t启动，试求在[0,t]内到达火车站的乘客等待时间总和的数学期望．ktkk设是第个乘客到达火车站的时刻，则其等待时间为解[0]N(t)t在，内到达火车站的乘客数为()()Ntktk=1等待时间总和为E{E[YX]}E[Y]利用全期望公式()()E[()]E[E[()()]]NtNtkkttNtk=1k=10E(()())(())nkntNtnPNtnk=1011E()())(())nnknkktNtnPNtn01{E()()}(())nknkntNtnPNtn()01{E()}(())nknkntUPNtn01{E}(())nknkntUPNtn注：倒数第一个等号用了n个随机变量与它们的顺序统计量的和相同01(){}2!ntntntnten211()2(1)!ntntten22t7.复合poisson过程定义设{N(t),t≥0}是参数为λ的Poisson过程,{Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量,且与{N(t),t≥0}独立0,)()(1tYtXtNkk令称{X(t),t≥0}为复合Poisson过程.若将N(t)表示[0,t)内的随机点数,Yk表示第k个随机点所携带的某种(能)量,则总量为)(1)(tNkkYtX即{X(t),t≥0}为复合Poisson过程定理设{X(t),t≥0}为复合Poisson过程.则⑴{X(t),t≥0}的一维特征函数为)1)(();(ufteut其中f(u)是Yn(n=1,2,…)的特征函数⑵若22E)(,E)(,EnXnXnYttDYttmY则证明⑴由特征函数的定义可得X(t)的特征函数为][E][E)()(1)()(tNnnYjutjuXtXeeuf))(())((E]])([E[E01)(1mtNPmtNetNemYjuYjumnntNnn))(()(E01mtNPemYjumnnYn与N(t)独立Yn独立同分布!/)())((0metuftmmm)1)((0!/))((uftmmtemutfe⑵由于特征函数与矩有关系nkjkkk,EX)0()(则对X(t)的特征函数求导数)1)(()()()(ufttXeuftuf)1)((222)()]()([)(ufttXeuftuftuf所以)]([E)(tXtmXntXYtjftjfE/)0(/)0()(2)(2/)0()]([EjftXtX22222222)E(E)/)0((/)0(nnYtYtjftjft所以222E)])([E(])([E)(nXYttXtXtD例1设移民到某地区定居的户数是一Poisson过程，平均每周有2户定居，即λ=2.如果每户的人口数是随机变量一户4人的概率为1/6，一户3人的概率为1/3，一户2人的概率为1/3，一户1人的概率为/6，且每户的人口数是相互独立的，求在五周内移民到该地区的人口数的数学期望和方差．643,252nnEYEY3215)5(,25)5(DXEX和(2)kS中出现第ｋ次事件例2设1{(),0)}Ntt2{(),0)}Ntt是两个相互独立的Poisson过程，它们在单位时间内发生事件的平均数分别为λ1和λ２.设(1)kS代表第一过程1{(),0)}Ntt中出现第ｋ次事件所需的时间，代表第二过程2{(),0)}Ntt所需的时间．试求：(1)第一过程中出现第一次事件先于第二过程出现第一次事件的概率，即(1)(2)11()PSS(1)(2)1()kPSS(2)解题思路:考虑两个随机变量的联合密度函数,再计算有关的概率(1)(2)11112()PSS(1)(2)1112()()kkPSS例3某中子计数器对到达计