学士论文线性方程组理论的有关应用

线性方程组理论的有关应用Applicationsontheoryoflinearequations专业:数学与应用数学作者:指导老师:学校二○○I摘要本文介绍了线性方程组的一些理论,在此基础上做了一定的推广,并讨论了这些重要的理论在高等代数中的具体应用.关键词:线性方程组;行列式;非零解;矩阵的秩;解空间IIAbstractInthispaper,weintroducesometheoriesoflinearequations,popularizesomesignificanttheories,anddiscusstheseimportanttheoriesofalgebrainspecificapplications.Keywords:linearequations;determinant;non-zerosolution;rankofmatrix;solutionspace目录摘要..................................................................IABSTRACT................................................................II0引言...................................................................11关于线性方程组的一般理论...............................................12线性方程组理论的几个应用...............................................22.1齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用......................22.2齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用............................52.3线性方程组理论在解析几何中的应用..................................7参考文献................................................................11第1页,共11页0引言目前,新的中学教材已初步渗透了高等数学的一些知识理论,而利用这些知识理论来解决初等数学问题显得既简洁又优美.本文针对中学数学中由几个结构相似且具有共同字母或数字的等式联系在一起的若干变量之间的相互关系问题,结合高等代数中有关齐次线性方程组的理论,从而有助于问题迅速的得以转化和解决.同时将线性方程组理论应用于解析几何,沟通了代数与几何的内在联系,并可透视代数与几何的相互渗透,也可使许多几何问题得到更为简明的刻画.关于线性方程组的一般理论,可参看文献[1-3,8-11],一些专题研究可参看文献[4-7].1关于线性方程组的一般理论在这一节,我们回顾《高等代数》中关于线性方程组的一般理论.对于任一个矩阵A,我们用TA表示A的转置,r表示A的秩,nr表示自由未知量的个数,dimA表示A的维数.并且我们知道在经典的《高等代数》的教材中,有以下关于线性方程组的结果.定理1.1[1]含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零.定理1.2[1]设齐次线性方程组111122112122221122000nnnnmmmnnaxaxaxaxaxaxaxaxax(1.1)系数矩阵()ijmnAa的秩()RAr.且方程组(1.1)的解空间为V.则可以得到下列结论dim()()VnRA,这里dim()V表示方程组(1.1)解空间的维数．第2页,共11页2线性方程组理论的几个应用2.1齐次线性方程组有非零解理论在初等数学中的应用(1)在求解二元方程组上的应用利用定理1.1可求解二元方程组,求解时只需将其中一个变量作为常数即可.例1求下面方程组的全部解,其中方程组为3223010xyxyxyxy解将y看成是常数,则方程组可改写为(32)(23)0(1)(1)0yxyyxy,则有3223011yyyy.求解得11y,25y.代入方程组求解,得到15x,21x.故原方程组的全部解为1151xy,2215xy.例2已知一次函数()fxaxb,且1(1)2f,2(2)3f,求(3)f的取值范围.解应先找出(3)f与(1)f,(2)f的关系,有(1)fab,(2)2fab,(3)3fab,得(1)02(2)03(3)0abfabfabf第3页,共11页这是关于,,1ab的三元齐次线性方程组,显然方程组有非零解,于是11(1)21(2)031(3)fff化简为(1)4(2)3(3)0fff,所以14(3)(1)(2),33fff因此1013(3)33f.例3等差数列{}na的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A130;()B170;()C210;()D260解由等差数列知识,可设前n项和为2()nSanbnnN，所以2mSambm,2242mSmamb,2393mSmamb,考察以,,1ab为未知数的方程组222230420930mmmmambSmambSmambS由于该齐次线性方程组有非零解,因此其系数行列式为0,于是2222342093mmmmmSmmSmmS即231142093mmmSSS化简,得23330mmmSSS,所以323()3(10030)210mmmSSS.故选()C.例4已知2()fxxpxq,求证(1)f,(2)f,(3)f中至少有一个不小于12．第4页,共11页证明先找出(1)f,(2)f,(3)f间的关系,有1(1)024(2)039(3)0pqfpqfpqf此关于p,q,1的齐次线性方程组有非零解,于是111(1)212(2)0319(3)fff化简,(1)2(2)(3)2fff．假设结论不成立,即1(1)2f,1(2)2f,1(3)2f,易推出2(1)2(2)(3)2fff,产生矛盾,命题得证.(2)在证明一元n次方程重根上的应用由高等代数中多项式理论容易知道,多项式()Fx的重因式()Px必是()Fx的因式.因此,()Fx的重根必是()Fx的的根,且此根是()Fx与()Fx的公共根.由此结论我们可以推广到以下结论如果0x是()fx的k重根(1)k,则0x是()fx的1k重根.下面我们就这一理论:来看一看如何利用线性方程组理论证明方程的重根.首先给出一个简单的结论:设是方程010axa与20120bxbxb的公共根,则也是2010axax的根,从而有下列齐次线性方程组012012012000axaaxaxbxbxb其根为2(,,1)xx,根不为零,由线性方程组理论知其系数行列式为零.即0101012000aaaabbb.第5页,共11页由上述结论,我们可以获得一个判断重根的方法.例5证明一元二次方程2axbxc(0a)有重根的充要条件是其判别式240bac.证明对方程两边求导有20axb.一元二次方程20axbxc有重根,即其与20axb有公共根,由上面的结论有102200abababc.展开运算即有240bac.推广到一元n次方程.设是11100nnnnaxaxaxa的根,从而有下列齐次线性方程组1211211111000(1)00nnnnnnnnnnnnnaxanaxaxnaxnaxaaxaxaxa其根为11(,,...,,)nnxxx不为零,由线性方程组理论知其系数行列式为零.即11121122100000000000(1)0nnnnnnnnnnaanaananaaaaaaaaa.2.2齐次线性方程组解空间理论在解题上的应用例6设A为mn矩阵,B为ns矩阵,且0AB,则()()RARBn.证明把矩阵B分块为:12(,,,)sB,则0iA,1,2,,is.从而iV,其中V是0AX的解空间.由定理1.2得()dim()RBVnRA.于是第6页,共11页()()RARBn.例7若A是n阶方阵，且2AA,则()()RARIAn.证明因为()(())()()nRIRAIARARIA,（2.1）又因2AA即()0AAI,由例6知()()RARIAn.（2.2）由(2.1)(2.2)两式得()()RARIAn.分析以上三个例题,很容易想到利用齐次线性程组解的理论来解决,特别是例6，由0AB,容易联想到把B的列向量作为齐次线性方程组0AX的解向量,从而获得解决.下面讨论几个例子,看起来似乎与齐次线性方程组无关系,但经过仔细分析，我们将会发现,仍然可以通过齐次线性程组的理论加以解决.例8设A为mn矩阵,B为ns矩阵,则()min{(),()}RABRARB.证明设12(,,,)sVL为齐次线性方程组0BX的解空间,其中我们令12(,,,Ct.由定理1.2知()()tRcsRB.又因0ABC,由例6于是我们知()()RABRCs.即()(())()RABssRARA.同理可得()()RABRB,于是结论成立.例9设A为n阶方阵,则1()()nnRARA.证明若A为满秩矩阵,则结论显然成立.现设()RAn,则存在自然数k使得1()()kkRARA1kn.设iV为齐次线性方程组0iAx的解空间,则对任意iV,有10iiAAA,于是有1kkVV,1,2,i，因1()()kkRARA,故由定理1.2知,1dim()dim()kkVV.又因1kkVV,从而1kkVV.现设2kV,则2kA10kA.由此得1kkAVV,故1()0kkAAA.于是1kV.从而21kkVV,由定理1.2得12()()0kkRARA.同理可得231()()()()kknnRARARARA.例10设A为2阶方阵，且0mA,则20A.第7页,共11页证明不考虑0A的情况,则()1RA.设0mA,但10mA,则,()1iRA,1,2,,i1m.设iV为齐次线性方程组0iAX的解空间,与例5同样证明方法得121mVVV.设110,201,从而0mA,故211()0AAA,从而11mmAVV,于是222()0AAA.同理222()0AAA.故2212(,)0AA.例11设A为m列矩阵,从A中任取出s列,组成矩阵B,有()()RBRAsm.证明设12(,,,)mA,12(,,,)iiisB,并设12(,,,)Tiiisxxx为齐次线性方程组0BX的任意解,即有11220iiiiisisxxx121smiii.于是11122000...iiiiisismxxx.即1200000000(,,,,,,,,,,,,,,)Tiiisxxx是齐次线性方程组0AX的解.故齐次线性方程组0AX解空间的维数不小于齐次线性方程组0BX解空间的维数.由定理1知()()mRAsRB,即()()RBRAsm.在一般教材或习题指导书中,上面几个例题