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动力学的临界和极值问题教学目标:教学重点、难点:新课引入:教学过程:一、临界和极值在应用牛顿定律解决动力学问题中,当物体运动的加速度不同时,物体有可能处于不同的状态,特别是题目中出现“最大”、“最小”、“刚好”等词语时,往往会有临界现象。此时要采用极限分析法,看物体在不同加速度时,会有哪些现象发生,尽快找出临界点,求出临界条件。在某些物理情境中,物体运动状态变化的过程中,由于条件的变化,会出现两种状态的衔接,两种现象的分界,同时使某个物理量在特定状态时,具有最大值或最小值。这类问题称为临界问题。在解决临界问题时,进行正确的受力分析和运动分析,找出临界状态是解题的关键。1、相互接触的物体,它们分离的临界条件是:它们之间的弹力0N,而且此时它们的速度相等,加速度相同。【例】如图,在竖直立在水平面的轻弹簧上面固定一块质量不计的薄板,将薄板上放一重物,并用手将重物往下压,然后突然将手撤去,重物即被弹射出去,则在弹射过程中,(即重物与弹簧脱离之前),重物的运动情况是()A、一直加速B、先减速,后加速C、先加速、后减速D、匀加速F答案:C【例】如图所示,劲度系数为k的轻弹簧竖直固定在水平面上,上端固定一质量为0m的托盘,托盘上有一个质量为m的木块。用竖直向下的力将原长为0l的弹簧压缩后突然撤去外力,则m即将脱离0m时的弹簧长度为()A、0lB、kgmml00C、kmgl0D、kgml00答案:A【例】如图所示,一细线的一端固定于倾角为45的光滑楔形滑块A的顶端P处,细线的另一端拴一质量为m的小球。当滑块至少以加速度______a向的左运动时,小球对滑块的压力等于零。当滑块以ga2加速度向左运动时,线的拉力大小______F。aPA45°答案:g、mg5【例】一个质量为kg2.0的小球用细线吊在倾角53的斜面顶端,如图,斜面静止时,球紧靠在斜面上,绳与斜面平行,不计摩擦,当斜面以2/10sm的加速度向右做加速运动时,求绳的拉力及斜面对小球的弹力。答案:N83.2、0【例】如图所示,在倾角为的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A、B。它们的质量分别为Am、Bm,弹簧的劲度系数为k,C为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F沿斜面方向拉物块A使之向上运动,求物块B刚要离开C时物块A的加速度a和从开始到此时物块A的位移d,重力加速度为g。答案:①ABAmgmmFasin;②kgmmdBAsin。【例】如图所示,一根劲度系数为k质量不计的轻弹簧,上端固定,下端系一质量为m的物体A。手持一质量为M的木板B,向上托A,使弹簧处于自然长度。现让木板由静止开始以加速度a(ga)匀加速向下运动,求:(1)经过多长时间A、B分离。(2)手作用在板上作用力的最大值和最小值。答案:①kaagmt2;②最大:agmMF;最小:agmF。解:①分离时弹力为0,而且加速度为a;②开始运动时力最大:对系统:amMFgmM;AB分离时力最小:对B:maFmg【例】如图所示,木块A、B的质量分别为1m、2m,紧挨着并排放在光滑的水平面上,A与B间的接触面垂直于图中纸面且与水平面成角,A与B间的接触面光滑。现施加一个水平力F作用于A,使A、B一起向右运动且A、B一不发生相对运动,求F的最大值。答案:2211tanmgmmmF【例】如图所示,一质量为m的物块A与直立轻弹簧的上端连接,弹簧的下端固定在地面上,一质量也为m的物块B叠放在A的上面,A、B处于静止状态。若A、B粘连在一起,用一竖直向上的拉力缓慢上提B,当拉力的大小为mg5.0时,A物块上升的高度为L,此过程中,该拉力做功为W;若A、B不粘连,用一竖直向上的恒力F作用在B上,当A物块上升的高度也为L时,A与B恰好分离。重力加速度为g,不计空气阻力,求恒力F的大小。BA答案:mg5.1解:静止时,对AB:kmgx2;粘连时,缓慢地提:对AB:mgLxkF2;又mgF5.0不粘连,分离时:0N;对B:mamgF;对A:mamgLxk;由以上各式可得:mgF5.1。【例】如图所示,质量kgm10的小球挂在倾角为37的光滑斜面的固定铁杆上,当小球与斜面一起向右以:(重力加速度为2/10smg)(1)ga5.01时,绳子拉力和斜面的弹力大小;(2)ga22时,绳子拉力和斜面的弹力大小。α答案:①N100N50;②N510002、绳子的张紧和松驰也会存在着临界问题,此时绳子的张力:0T。【例】如下图所示,两绳系一个质量为kgm1.0的小球,两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处,上面绳长mL2,两绳都拉直时与轴夹角分别为30和45。问球的角速度在什么范围内,两绳始终张紧?答案:sradsrad/16.3/40.2【例】如图所示,两细绳与水平的车顶面的夹角为60和30,物体的质量为m。当小车以大小为g2的加速度向右匀加速运动时,绳1和绳2的张力大小分别为多少?答案:0mg5。3、由运动情况造成的临界和极值问题,此时题目中将会出现“最大”、“最小”、“刚好”、“恰好”等词语。【例】物体A的质量kgM1,静止在光滑水平面上的平板车B的质量为kgm5.0、长mL1。某时刻A以smv/40向右的初速度滑上木板B的上表面,在A滑上B的同时,给B施加一个水平向右的拉力。忽略物体A的大小,已知A与B之间的动摩擦因数2.0,取重力加速度2/10smg。试求:(1)若NF5,物体A在小车上运动时相对小车滑行的最大距离;(2)如果要使A不至于从B上滑落,拉力F大小应满足的条件。答案:①m5.0;②NFN31。解:①由牛顿第二定律:对A:1MaMg;对B:2maMgF;此后,物体A将做减速运动,而B将加速,直到达到共速;有:tatavv210共得:st25.0此时,相对位移mmSSSBA15.0相之后,A将从B的左端滑下。②当F较小时,A将从B的右端滑下,临界条件是:A到达B的右端时,A、B具有共同的速度。当F较大时,A将从B的左端滑下,临界条件是:达到共同速度时,A、B相对静止。此时:mff滑。【例】一小圆盘静止在桌布上,位于一方桌的水平桌面的中央。桌布的一边与桌的AB边重合,如图。已知盘与桌布间的动摩擦因数为1,盘与桌面间的动摩擦因数为2。现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面,加速度的方向是水平的且垂直于AB边。若圆盘最后未从桌面掉下,则加速度a满足的条件是什么?(以g表示重力加速度)答案:ga12212解:圆盘的运动应该是先在桌布上加速,后在桌子上做匀减速运动,如果圆盘未从桌面上掉下来(设从桌布上掉下来时的速度为v,末速度为0),则有:对圆盘:2LSS减加;加速阶段:11mamg;122avS加;减速阶段:22mamg;222avS减;设桌布从盘下抽出所经历时间为t,在这段时间内桌布移动的距离为S。对桌布:221atS;由运动情况:2LSS加;2121taS加。由以上各式得:ga12212。【例】如图所示,一质量kgm500的木箱放于质量kgM2000的平板车的后部,木箱到驾驶室的距离ml6.1,已知木箱与木板间的动摩擦因数484.0,平板车运动过程中所受的阻力是车和箱总重的2.0倍。平板车以smv/220的恒定速率行使,突然驾驶员刹车,使车做匀减速运动,为了不让木箱撞击驾驶室,试求:(1)从刹车开始到平板车完全停止至少要经过多长时间?(2)驾驶员刹车时的制动力不能超过多少?答案:①s4.4;②N31042.7。解:①设箱的位移为1S,车的位移为2S;车的加速度为a。箱子如果不与车相碰,则有:lSS21由牛顿定律,对箱:1mamg;由运动学公式,对箱:12012avS;对车:avS2202;由以上各式有:2/5sma,所以savt4.40。②设汽车的制动力为F,由牛顿第二定律:MagmMkFmg得:NF31042.7【例】一木箱可视为质点,放在汽车水平车厢的前部,如图所示,已知木箱与汽车车厢底板之间的动摩擦因数为。初始时,汽车和木箱都是静止的。现在使汽车以恒定的加速度0a开始启动沿直线运动。当其速度达到0v后做匀速直线运动。要使木箱不脱离车厢,距汽车车厢尾部的距离应满足什么条件?【例】如图所示,在光滑桌面上叠放着质量为kgmA0.2薄木板A和质量为kgmB0.3的金属块B。A的长度mL0.2。B上有轻线绕过定滑轮与质量为kgmC0.1的物块C相连。B与A之间的滑动摩擦因数10.0,最大的静摩擦力可视为等于滑动摩擦力。忽略滑轮质量及与轴间的摩擦。起始时令各物体都处于静止状态,绳被拉直,B位于A的左端(如图所示),然后放手,求经过多长时间后B从A的右端脱离(设A的右端距滑轮足够远)(2/10smg)。【例】一圆环A套在一均匀圆木棒B上,A的高度相对B的长度来说可以忽略不计。A和B的质量都等于m,A和B之间的滑动摩擦力为f(mgf)。开始时B竖直放置,下端离地面高度为H,A在B的顶端,如图所示。让它们由静止开始自由下落,当木棒与地面相碰后,木棒以竖直向上的速度反向运动,并且碰撞前后的速度大小相等。设碰撞时间很短,不考虑空气阻力,问:在B再次着地前,要使A不脱离B,B至少应该多长?答案:HfmggmL2228;解:开始释放后,A、B一起做自由落体运动,设其到达地面前瞬间的速度为1v。由机械能守恒:21212mvmgH;B与地面撞击后,环A将做加速运动(设其加速度为1a),而B将做减速运动(设其加速度为2a),当B的速度减为0后,反向又以2a加速,直到B再次落地,由对称性可知:此时B的速度依然为1v。由牛顿第二定律,对A:1mafmg;对B:2mafmg;故它们运动的时间为:212avt;此时:棒运动的位移为0,环相对于棒运动的位移,对环:有:21121tatvS;棒的长度:SL,即HfmggmL2228。4、最大静摩擦力也会造成临界和极值问题,此时有:滑fffm。【例】如图所示,质量分别为m和m2的两物体A、B叠放在一起,放在光滑的水平地面上,已知A、B间的最大摩擦力为A物体重力的倍,若用水平力分别作用在A或B上,使A、B保持相对静止做加速运动,则作用于A、B上的最大拉力AF与BF之比为多少?ABF答案:21::BAFF【例】如图所示,光滑水平面上放置质量分别为m和m2的四个木块,其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连,木块间的最大静摩擦力是mg。现用水平拉力F拉其中一个质量为m2的木块,使四个木块以同一加速度运动,则轻绳对m的最大拉力为()A、5mg3B、4mg3C、2mg3D、mg3
本文标题:动力学的临界和极值问题
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