全国名校高中数学题库--圆锥曲线

1第八章椭圆、双曲线与抛物线考点1椭圆典型考法1椭圆的最值问题典型例题已知椭圆122nymx，常数m、Rn，且nm．(1)当2521mn，时，过椭圆左焦点F的直线交椭圆于点P，与y轴交于点Q，若2QFFP，求直线PQ的斜率；(2)过原点且斜率分别为k和k（1k）的两条直线与椭圆221xymn+=的交点为ABCD、、、（按逆时针顺序排列，且点A位于第一象限内），试用k表示四边形ABCD的面积S，并求S的最大值．解析(1)21,25nm1212522yx的左焦点为)0,2(F，设满足题意的点为00(,)(0)PxyQt、，．又FPQF2，∴00(2)2(2)txy--=+，，，即ooytx23由点在椭圆上，得1212592oy，得5214oy，52142oQFPQytKK．(2)Q过原点且斜率分别为k和kk-(1)³的直线1ly=kx:，2lykx:=-关于x轴和y轴对称，四边形ABCD是矩形．设点A00()xy，．联立方程组221xymnykxìïï+=ïïíïï=ïïî得222mnxnmk=+，于是0x是此方程的解，故)1(44422kmknmnkkxyxSooo，即244mnkmnSnnmkmkk==++．设)1()(kknmkkg，则()gk在[1)，上是单调函数．理由：对任意两个实数),1[,21kk，且21kk，121212()()()nngkgkmkmkkk-=+-+＝121211()()mkknkk-+-121212()mkknkkkk-=-．121212()0mkknkkkk-\-，即12()()0gkgk-．∴()gk在[1)，上是单调函数，于是min()(1)gkgmn==+，44mnmnSnmnmkk，当且仅当1k等号成立．nmmnS4max．注：也可利用求导法证明()gk在[1)，上是单调函数．必杀技：利用求函数最值的方法+椭圆性质解决与椭圆有关的最值问题须注意：1．最值问题的题型大致有：求距离的最值、角度的最值、面积的最值．2．最值问题的求解策略：(1)总方针：建立目标函数（或目标不等式）(2)具体方法：①转化为二次函数（或双钩函数、三次函数等常用函数）的最值问题②利用三角换元，转化为三角函数的最值问题③结合椭圆的定义，利用图形的几何特征求最值④利用基本不等式求最值还须值得注意的是，有些求最值的问题可能要先求目标函数的局部最值，而复杂的求最值问题甚至需要多种方法的综合运用．以下给出椭圆最值问题的几个性质，便于快速地求解决相关问题．3读者自行完成上述性质的证明．这些性质均与椭圆的焦点位置无关，对任意位置的椭圆都成立，可用于求解一些选择题和填空题．实战演练1．F是椭圆22143xy的右焦点，(11)A，为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点，则||||PAPF的最小值为．2．设椭圆中心在坐标原点，(0)(0)AaBb，，，是它的两个顶点，直线ykx(0)k与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，若2a，1b．（1）已知6EDDF，求k的值；（2）求四边形AEBF面积的最大值；3．若椭圆1E:1212212byax和椭圆2E:1222222byax满足2211(0)abmmab，则称这两个椭圆相似，m称为其相似比．(1)求经过点)6,2(，且与椭圆12422yx相似的椭圆方程;(2)设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），求OBOA1的最大值和最小值;(3)对于真命题“过原点的一条射线分别与相似比为2的两个椭圆1C：1222222yx4和2C：1)22(42222yx交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若OA、OP、OB成等差数列，则点P的轨迹方程为1)223(32222yx”．请用推广或类比的方法提出类似的一个真命题，并给予证明．参考答案：1．45.2．（1）23k或38k.（2）22.提示：设点EF，到AB的距离分别为1h，2h，故AEBF的面积为121()2SABhh22144214kkk22≤，易得当12k时，S取最大值22．注：通过对（2）的求解，我们进一步探究还可以得到关于椭圆所对应的四边形AEBF面积的若干结论．结论一：已知(0)(0)AaBb，，，是椭圆22221xyab(0)ab的两个顶点，直线ykx(0)k与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点，则四边形AEBF面积的最大值为2ab．结论二：以椭圆22221xyab(0)ab的一条定弦AB为对角线的椭圆内接四边形AEBF面积取最大值时，另一条对角线EF必过原点与AB的中点D．推论1：若以(0)kk为斜率的直线与椭圆22221xyab(0)ab相切，则两切点的连线必过原点，且其斜率0k满足：202bkka．5推论2：以(0)kk为斜率的椭圆22221xyab(0)ab两切线间的距离为22222||1akbk（如图8-1-8）．推论3：若D是椭圆22221xyab(0)ab不过原点O且不垂直于对称轴的弦AB上一点，则点D是弦AB中点的充要条件是22ODABbkka．结论三：椭圆22221xyab(0)ab内接四边形AEBF面积的最大值为2ab．结论四：EF是椭圆22221xyab(0)ab的过原点的一条定弦，AB是椭圆的过弦EF上定点00()Dxy，的动弦，则当弦AB被点D平分时，椭圆内接四边形AEBF面积取最大值的充要条件是：2200221[0]2xyab，．3．(1)181622yx(2)①当射线与y轴重合时，OBOA1=4252212．②当射线不与坐标轴重合时，由椭圆的对称性，我们仅考察A、B在第一象限的情形．设其方程为kxy（0,0xk），设),(11yxA，),(22yxB，由12422yxkxy解得222112kkOA，同理可得222114kkOB，令222112kkt则由22212tk知22t，于是OBOA1tt21在]2,2(上是增函数，∴491245OBOA，由①②知，OBOA1的最大值为49，OBOA1的最小值为6425．(3)该题的答案不唯一，现给出其中的两个．命题：过原点的一条射线分别与双曲线1C：12222byax和2C：1)(2222mbymax)0(m交于A、B两点，P为线段AB上的一点，若OA、OP、OB成等差数列，则点P的轨迹方程为1)21()21(2222bmyamx．证明：∵射线l与双曲线有交点，不妨设其斜率为k，显然abk．设射线l的方程为kxy，设点),(11yxA、),(22yxB、),(yxp由12222byaxkxy得2221kababx，由1)()(2222mbymaxkxy得2222kabmabx，由P点在射线l上，且OP2OAOB得kxyxxx221即xykkabmabx2222)1(得1)21()21(2222bmyamx．命题：过原点的一条射线分别与两条抛物线1C：pxy22)0(p和2C：mpxy22)0(m相交于异于原点的A、B两点，P为线段AB上的一点，若OA、OP、OB成等差数列，则点P的轨迹方程为pxmy)1(2．（证略）．典型考法2与椭圆有关的定点与定值问题典型例题已知椭圆)0(12222babyax的左右焦点分别为21,FF，短轴两个端点为BA,，7且四边形BAFF21是边长为2的正方形．（1）求椭圆方程；（2）若DC,分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足CDMD，连接CM，交椭圆于点P．证明：OMOP为定值；（3）在（2）的条件下，试问x轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线MQDP,的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解析（1）222,,2cbacba，22b，椭圆方程为12422yx．（2）)0,2(),0,2(DC，设),(),,2(110yxPyM，则),2(),,(011yOMyxOP．直线CM：0042yyyx，即00214yxyy，代入椭圆4222yx得042121)81(2020220yxyxy．8)8(2,8)8(4)2(2020120201yyxyyx，882001yyy．)88,8)8(2(2002020yyyyOP，2220002220004(8)84324888yyyOMOPyyy（定值）．（3）设存在)0,(mQ满足条件，则DPMQ．),2(0ymMQ，)88,84(2002020yyyyDP，则由0DPMQ得088)2(8420202020yymyy，从而得0m．存在)0,0(Q满足条件．必杀技：遵循“一选、二求、三定点”的原则一般地，解决动曲线（包括动直线）过定点的问题，其解题步骤可归纳为：一选、二求、三定点．具体操作程序为：“一选”：选择参变量．需要证明过定点的动曲线往往随某一个量的变化而变化，可选8择这个量为参变量（当动直线涉及的量较多时，也可选取多个参变量）．“二求”：求出动曲线的方程．求出只含上述参变量的动曲线方程，并由其它辅助条件减少参变量的个数，最终使动曲线方程的系数中只含有一个参变量．“三定点”：求出定点的坐标．不妨设动曲线方程中所含的参变量为，把曲线方程写成形如()()0fxygxy，，的形式，然后解关于x，y的方程组()0()0fxygxy，，得到定点的坐标．实战演练1．已知椭圆C经过点3(1)2A，，两个焦点为(10)，，(10)，．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．2．设椭圆C：22221xyab（0ab）过点(21)M，，且左焦点为1(20)F，(1)求椭圆C的方程；(2)当过点(41)P，的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，证明：点Q总在某定直线上．3．若椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点（2，0）到左焦点距离为3．(1)求椭圆C的标准方程．(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左、右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．(3)将(2)推广到一般情形，使得(2)为其特例，并给出解答过程．参考答案：91．(1)22143xy.(2)设直线AE：3(1)2ykx，代入22143xy得2223(34)4(32)4()1202kxkkxk，设()EEExy，，()FFFxy，，易得12FEEFFEyykxx(定值)．注：本题可推广为（证明略）：2．(1)22142xy.(2)提示：利用线段的定比分点，关注．10注：（一）本题的证明还有其它方法，这里从略．（二）对于本题，我们还可将第(2)题的结论推广到一般椭圆，具体为：命题一：设椭圆22221(0)xyCabab：，过椭圆外一点()Pmn，的动直线l与椭圆C相交于两不同点,AB，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，则点Q在定直线22220mbxnayab上．我们可将命题一推广到其它的圆锥曲线，具体为：命题二：设圆222(0)Cxyrr：，过圆外一点()Pmn，的动直线l与圆C相交于两不同点,AB，在线段AB上取点Q，满足APQBAQPB，则点Q在定直线20mxnyr上．命题三：设