第2章 结构的几何构造分析

第2章结构的几何构造分析主讲人：黄志刚学院：土建学院2016年9月概述一、几何不变体系体系在受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的条件下，若能保持其位置和形状不变者，称为几何不变体系。（见图1）P图1几何不变体系二、几何可变体系体系在受到任意荷载作用后，在不考虑材料应变的条件下，若其位置和形状可以改变者，称为几何可变体系。（见图2）P图2几何可变体系三、几何组成分析的目的：1、判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。2、区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。3、搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。§2-1几何构造分析的几个概念一、刚片在平面问题中，刚性体化为平面内的一个不会有变形的面，则称这个面为刚片。刚片Ⅰ刚片Ⅱ刚片Ⅲ可以是杆、由杆组成的结构、支撑结构的地基平面内两点间的距离不会发生改变二、自由度确定物体位置所需要的独立坐标数目或者体系运动时可独立改变的几何参数数目。1、点xyyxA(x,y)oyxyoxA(x,y)一个点在平面上有两个自由度（图1）2、刚片一个刚片在平面上有三个自由度（图2）图1点图2刚片三、约束减少自由度的装置，称为约束（联系）。1、链杆一根链杆相当于一个约束(见图3）yox（图3）yoxxy2、铰结点(1)单铰连接两个刚片的铰称为单铰，一个单铰相当于两个约束（见图4）（2）复铰yox（图4）yoxxy连接三个及其以上刚片的铰称为复铰,连接n个刚片的复铰相当于（n-1）个单铰，即相当于（n-1）×2个约束。（见图5）（图5）yoxxy3、刚结点（1）单刚结点连接两个刚片的刚结点称为单刚结点，一个单刚结点相当于3个约束；固定端约束也相当于3个约束（见图6）。yox（图6）yoxxy（2）复刚结点连接三个及其以上刚片的刚结点称为复刚结点,n个刚片的复刚结点相当于（n-1）个单刚结点，即相当于（n-1）×3个约束。（见图7）图7四、多余约束在一个体系中增加（去掉）一个约束，体系的自由度并不因此而减少（增加），则该约束称为多余约束。A123ABABC要注意区分必要约束和多余约束必要约束对体系的自由度有影响，而多余约束对体系的自由度没有影响五、瞬变体系1、瞬变体系如果一个几何可变体系经微小位移以后，成为几何不变体系，则该体系称为瞬变体系。三铰共线PαN=P/2sinαα→0N→∞虽然经过微小位移以后变成几何不变体系，但体系会产生很大的内力，不能作为真实的结构。三杆平行且不等长ΔΔΔ332211hhh321hhh321∵∴h1h2h3即：三杆不等长，发生移动之后，为几何不变。三杆延长线交于一点不是约束的数量不够而是约束的位置不对瞬变体系产生的原因：2、常变体系三杆平行且等长三杆交于一点约束不足如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。六、虚铰（瞬铰）连接两个刚片的，不直接相连接的两根单链杆构成的联系，叫虚铰。虚铰的铰心在两根链杆（延长线）的交点上。.CODABO’.从瞬时运动的角度看，O与O’称为瞬心。该中心的位置随着刚片作微小的转动而改变。虚铰位于无穷远处的情况射影几何中有关无穷点和无穷线的结论1、每个方向上有一个无穷点，即该方向上各平行线交于该无穷点；2、不同方向上有不同的无穷点；3、各无穷点都在同一直线上，该直线叫做无穷线；4、各有限点都不再无穷线上。七、无穷远处的瞬铰§2-3平面杆件体系的计算自由度一、计算自由度W＝3m－（3g+2h+2b+内部多余约束数+外部支座约束数）式中：Ｗ——计算自由度m——刚片数（无多余约束）g——单刚结点数h——单铰结点数b——单链杆数m＝４h＝４支座约束＝３W=3×４－（２×４+３)＝１各刚片自由度总和－全部约束数二、计算自由度与几何构造的关系0W0W0W表明体系缺少足够的约束,体系几何可变；表明体系具有了保证几何不变所需的最小约束数目，若无多余约束，几何不变；若有多余约束，几何可变。表明体系有多余约束，但不一定是几何不变体系。要注意区分计算自由度与实际自由度体系的计算自由度W＝各刚片的自由度总和a－全部约束数d体系的实际自由度S＝各刚片的自由度总和a－非多余约束数c（必要约束数）若以n表示多余约束数，则n=d-c=S－W可见，只有当体系没有多余约束的时候，体系的计算自由度才等于实际自由度Ｗ＝３×１－５＝－２S=0n=2说明原体系是具有2个多余约束的几何不变体系§2-2几何不变体系的组成规律讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规则规则一二元体规则二元体：从一个单铰出发的两个刚片，在远端用铰与其它物体相连，且此三铰不共线。在一个体系上增加或撤去二元体，不会改变原体系的性质规则二两刚片规则两个刚片用不完全交于一点也不全平行的三根链杆相连，则所组成的体系是无多余约束的几何不变体系。或两刚片用一个铰和一根不通过该铰心的链杆相连，则所组成的体系为无多余约束的几何不变体系。oΙⅡΙⅡ特殊情况：1、三根链杆交于一点实铰：几何可变(常变)虚铰：几何可变（瞬变）2、三根链杆相互平行规则三三刚片规则三个刚片用不在同一条直线上的三个铰两两相连，则所组成的体系是无多余约束的几何不变体系。实铰虚铰特殊情况：三铰在同一条直线上瞬变体系几何不变体系特殊情况：无穷远处的瞬铰1、一个虚铰在无穷远的情况（1）构成虚铰的两链杆与第三杆不平行——几何不变体系（左图）。以上介绍的是两个刚片通过三根链杆相连接的情况，下面介绍三个刚片通过六根链杆连接的情况组成无穷远虚铰的两平行链杆与另两铰连线不平行，则体系为几何不变体系。（3）构成虚铰的两链杆与第三杆平行且等长——几何常变体系。（2）构成虚铰的两链杆与第三杆平行但不等长——几何瞬变体系。组成无穷远虚铰的两平行链杆与另两铰连线平行但不等长，则体系为几何瞬变体系。组成无穷远虚铰的两平行链杆与另两铰连线平行且等长，则体系为常变体系。2、两个虚铰在无穷远的情况（1）构成虚铰的四根链杆平行且等长——常变体系。（2）构成虚铰的四根链杆平行但不等长——几何瞬变体系。（1）构成虚铰的四根链杆两两不平行——几何不变体系。以上介绍的是三个刚片通过一个实铰和四根链杆相连接的情况，下面介绍三个刚片通过六根链杆相连接的情况若组成无穷远铰的两对平行链杆互不平行，则体系为几何不变体系。若组成无穷远铰的两对平行链杆互平行且不等长，则体系为瞬变体系。若组成无穷远铰的两对平行链杆平行且等长，则体系为常变体系。3、三个虚铰在无穷远的情况几何瞬变体系。因为无穷远处的所有点都在一条广义直线上。几何构造分析的方法总结1、一般先考察体系的计算自由度，若W0，则体系为几何可变，不必进行几何组成分析；若W0，则应进行几何组成分析。2、寻找构造单元：寻找体系中几何不变的局部——构造单元，由构造单元逐步扩展组成整体。（1）如果体系与地基之间只有三个约束，则从内部刚片出发进行装配；（2）如果体系与地基之间的约束多于三个，则从地基出发进行装配；3、利用等效变换：（1）用瞬铰代替对应的两根链杆；（2）用大刚片代替已经装配好的几何不变部分；（3）用直线链杆代替曲线链杆；（4）用一个刚片代替整个地基；4、排除二元体：采取与装配顺序相反的拆卸方法往往是有效的，最常用的是排除二元体。5、恰当选择约束对象：对较复杂体系，选择约束对象时，尽可能使刚片之间“拉开距离”。6、如约束对象为具有闭合环路的刚片，要注意其内部有多余约束。7、本法只适用于常规体系。分析某些复杂体系时应采用其他方法,如计算机方法和零载法。举例ACBD例1依次去掉二元体A、B、C、D后，剩下大地。故该体系为无多余约束的几何不变体系。ABCDEFG例2依次去掉二元体A、B、C、D、E、F、G后剩下大地，故该体系为几何不变体系且无多余联系。捷径1：拆去二元体，简化体系，然后再分析。例3抛开基础，分析上部；去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的几何可变体系。例4抛开基础，只分析上部；上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。故：该体系为无多余约束的几何不变体系。捷径2：当体系与基础满足要求的三个约束相连时，则可以抛开基础，只分析体系本身即可。ABDECF例5ⅠABCFDⅢO12O23O13O23O23O23O13O13O13O12O12O12如将基础、ADE、EFC作为刚片，将找不出两两相联的三铰。如图所示，三刚片用三个不共线的铰相连，故：该体系为无多余约束的几何不变体系。捷径3：当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。EⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)故原体系为瞬变体系三刚片以三个无穷远处虚铰相连组成瞬变体系例6（Ⅰ,Ⅱ）例7(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅱ,Ⅲ)ⅡⅠ三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。例8④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。②在体系内确定三个刚片。③三刚片用三个不共线的三铰相连。捷径4：由一基本刚片（单根链杆或铰接三角形）开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，然后再用规则判定。例9ABCDB该体系是几何不变体系有四个多余约束。例10该体系是几何不变体系；且无多余约束。捷径5：由基础开始逐件组装例11有一个多余约束的几何不变体系将画成将刚片画成直杆几何不变体系，没有多余约束。例12将折杆简化为直杆捷径6：注意利用刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效（与外部连结等效）刚片代替它。几何组成与静力特征之间的关系体系几何不变体系几何可变体系可作为结构不可作为结构有多余约束无多余约束超静定结构静定结构常变体系瞬变体系常变体系的静力特征：在任意荷载作用下，体系不能维持平衡而将发生运动因而静力平衡方程无解；瞬变体系的静力特征：在荷载作用下，它的反力和内力将是无穷大或不定值。静定结构的静力特征：在几何组成上是无多余约束的几何不变体系，其全部反力和内力可由静力平衡条件求得唯一和确定的值。超静定结构的静力特征：在几何组成上是有多余约束的几何不变体系，其全部反力和内力不能由静力平衡条件求得唯一和确定的值，还需考虑变形条件。本章小结与讨论一、小结（1）判别某一体系是否为几何不变，从而决定它能否作为结构。（2）区别静定结构、超静定结构，从而选定相应计算方法。（3）搞清结构各部分间的相互关系，以决定合理的计算顺序。1、几何组成分析的目的2、无多余约束几何不变体系的组成规则（1）二元体规则：一刚片与一个点用不共线的两根链杆连接。（2）两刚片规则：两刚片用不完全交于一点也不全平行的三根链杆或用一个铰和一根不通过此铰心的链杆相连。（3）三刚片规则：三刚片用不在一条直线上的三个铰两两相连。以上三个规则的实质是三角形规则，即三角形的三个边长一定，其几何形状是唯一确定的。3、各种约束的性质（1）一根单链杆相当于一个约束。连接n个刚片的复链杆相当于（2n-3）个单链杆。（2）一个单铰相当于两个约束，也相当于两根相交链杆的约束作用；连接n个刚片的复铰相当于（n-1）个单铰。（3）一个单刚结点相当于三个约束；连接n个刚片的复刚结点相当于（n-1）个单刚结点。4、体系的几何组成与分析（1）体系通常由多个单元逐步组成的。（2）每个体系的组成过程各有特点，有的从体系内部开始分析，有的从基础开始组装。（3）注意约束的等效替换，如虚铰代替两根链杆，折杆用直杆代替等。（4）有的体系有一种组成方式，那么就有一种分析过程；有的体系有多种组成方式，那么就有多种分析过程。（5）封闭框格可视为一个刚片，但其内部有三个多余约束。（6）最后的分析结论要注意：若体系为几何可变或几何瞬变，则分析结论为“该体系为几何可变体系”或“该体系为几何瞬变体系”即为最后结论。若体系为几何不变体系，则除指出“该体系为几何不变体系”外，还必须指出该体系有无多余约束及多余约束的个数。5、计算自由度（1）计算自由度：W＝3m－（3g+2h+2b+内部多余约束数+外部支座约束数）式中：