正弦定理应用

1.1正弦定理的应用1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其变形．2．能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状.目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩1．正弦定理(1)定理：在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比相等，即在△ABC中，asinA＝bsinB＝______.(2)变形：设△ABC的外接圆的半径为R，则有asinA＝bsinB＝csinC＝_____.一．复习巩固正弦csinC2R①a:b:c＝sinA:_____:sinC.②asinA＝bsinB＝csinC＝a＋b＋csinA＋sinB＋sinC.③a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝________.④sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R⑤AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB.sinB2RsinC2．解三角形一般地，把三角形的三个角和它们的______叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求__________的过程叫做解三角形．对边其他元素类型一已知两角一边解三角形练习：(1)一个三角形的两内角分别为45°与60°，如果45°角所对的边长是6，那么60°角所对的边的边长为()A．36B．32C．33D．26(2)在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________.解析：(1)令60°角所对的边为a，则asin60°＝6sin45°，∴a＝36.(2)∵tanA＝13，∴sinA＝1010.由正弦定理知AB＝BCsinA·sinC＝10sin150°＝102.答案：(1)A(2)102类型二已知两边及一边的对角解三角形[例1]下列三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)b＝10，c＝56，C＝60°；(3)a＝23，b＝6，A＝30°.变式训练在△ABC中，A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对解析：由asinA＝bsinB，得sinB＝b·sinAa＝42×sin60°43＝22.∵ab，∴AB，而A＝60°，∴B为锐角，∴B＝45°.答案：C类型三判断三角形的形状[例2]在△ABC中，若sin2A＝sin2B＋sin2C，sinA＝2sinB·cosC，试判断△ABC的形状．[解]记asinA＝bsinB＝csinC＝k，则sinA＝ak，sinB＝bk，sinC＝ck.∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴(ak)2＝(bk)2＋(ck)2，即a2＝b2＋c2，A＝90°.∴C＝90°－B，cosC＝sinB.∴1＝sinA＝2sin2B，sinB＝22.∴B＝45°或B＝135°(A＋B＝225°180°，舍去)．∴△ABC是以A为直角的等腰直角三角形．[点评]依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．变式训练已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a，b为△ABC的两边，A，B分别为a，b的对角，试判断△ABC的形状．解：设方程的两根为x1，x2，由韦达定理得x1＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB.由题意得bcosA＝acosB，由正弦定理得sinBcosA＝sinAcosB，即sinAcosB－cosAsinB＝0.∴sin(A－B)＝0.在△ABC中，A，B为其内角，－πA－Bπ，所以A＝B.即△ABC为等腰三角形．点评：已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC的外接圆半径)，边角互化，再利用三角函数进行恒等变换，或利用因式分解进行恒等变换，然后利用角或边的解的情况，给予判断．随能知堂训练知识反馈·········································技能检验1．有关正弦定理的叙述：①正弦定理只适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；④在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝a:b:c.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：由正弦定理的概念知③④正确．答案：B2．(2012·广东卷)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D.32解析：由正弦定理可知，ACsinB＝BCsinA，所以AC＝BCsinBsinA＝32×2232＝23.故选B.答案：B3．在△ABC中，sinA＝sinC，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形解析：由sinA＝sinC知，在△ABC中有A＝C.答案：B4．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A:B:C＝1:2:3，则a:b:c＝________.解析：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，且A:B:C＝1:2:3，所以A＝π6，B＝π3，C＝π2，由正弦定理的变形，得a:b:c＝sinA:sinB:sinC＝12:32:22＝1:3:2.答案：1:3:25．在△ABC中，sin2A＋sin2B＝sin2C，则C＝________.解析：由正弦定理得a2＋b2＝c2，∴C＝90°.答案：90°6．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，c＝1，求此三角形的最小边．解：C＝180°－60°－45°＝75°，由大角对大边知角B所对的边b最小，由正弦定理，得bsinB＝csinC，∴b＝csinBsinC＝sin45°sin75°＝3－1.即此三角形的最小边b为3－1.小结(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．(3)利用正弦定理判断三角形的形状利用正弦定理，结合三角形的内角和定理及三角函数中的一些公式，可以对某些三角关系式或恒等式进行恒等变形，要充分挖掘题目中的隐含条件，通过正弦定理转化为边的关系或角的关系，看是否满足勾股定理、两边相等或两角相等、三边相等或三角相等，从而确定三角形的形状．