正弦定理练习题(含答案)

正弦定理复习1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，则b等于()A.6B.2C.3D．26解析：选A.应用正弦定理得：asinA＝bsinB，求得b＝asinBsinA＝6.2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于()A．42B．43C．46D.323解析：选C.A＝45°，由正弦定理得b＝asinBsinA＝46.3．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为()A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理asinA＝bsinB得：sinB＝bsinAa＝22，又∵ab，∴B60°，∴B＝45°.4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于()A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不确定解析：选A.由正弦定理知sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝1∶5∶6.5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c＝()A．1B.12C．2D.14解析：选A.C＝180°－105°－45°＝30°，由bsinB＝csinC得c＝2×sin30°sin45°＝1.6．在△ABC中，若cosAcosB＝ba，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵ba＝sinBsinA，∴cosAcosB＝sinBsinA，sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B即2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝π2.7．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30°，则△ABC的面积为()A.32B.34C.32或3D.34或32解析：选D.ABsinC＝ACsinB，求出sinC＝32，∵AB＞AC，∴∠C有两解，即∠C＝60°或120°，∴∠A＝90°或30°.再由S△ABC＝12AB·ACsinA可求面积．8．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若c＝2，b＝6，B＝120°，则a等于()A.6B．2C.3D.2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sinC，∴sinC＝12.又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°，△ABC为等腰三角形，a＝c＝2.9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝π3，则A＝________.解析：由正弦定理得：asinA＝csinC，所以sinA＝a·sinCc＝12.又∵a＜c，∴A＜C＝π3，∴A＝π6.答案：π610．在△ABC中，已知a＝433，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.解析：由正弦定理得asinA＝bsinB⇒sinB＝bsinAa＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，则a＋c＝________.解析：C＝180°－120°－30°＝30°，∴a＝c，由asinA＝bsinB得，a＝12×sin30°sin120°＝43，∴a＋c＝83.答案：8312．在△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC的形状为________．解析：由正弦定理，得a＝2R·sinA，b＝2R·sinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2R·sinB·cosC，所以sinA＝2sinB·cosC，即sinB·cosC＋cosB·sinC＝2sinB·cosC，化简，整理，得sin(B－C)＝0.∵0°＜B＜180°，0°＜C＜180°，∴－180°＜B－C＜180°，∴B－C＝0°，B＝C.答案：等腰三角形13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________，c＝________.解析：由正弦定理得a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝63sin60°＝12，又S△ABC＝12bcsinA，∴12×12×sin60°×c＝183，∴c＝6.答案：12614．已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，a＝1，则a－2b＋csinA－2sinB＋sinC＝________.解析：由∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3得，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，∴2R＝asinA＝1sin30°＝2，又∵a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，∴a－2b＋csinA－2sinB＋sinC＝2RA－2sinB＋sinCsinA－2sinB＋sinC＝2R＝2.答案：215．在△ABC中，已知a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.解析：依题意，sinC＝223，S△ABC＝12absinC＝43，解得b＝23.答案：2316．在△ABC中，b＝43，C＝30°，c＝2，则此三角形有________组解．解析：∵bsinC＝43×12＝23且c＝2，∴cbsinC，∴此三角形无解．答案：017．如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？解：在△ABC中，BC＝40×12＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC＝BC·sin∠ABCsinA＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是102km.18．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a＝23，sinC2cosC2＝14，sinBsinC＝cos2A2，求A、B及b、c.解：由sinC2cosC2＝14，得sinC＝12，又C∈(0，π)，所以C＝π6或C＝5π6.由sinBsinC＝cos2A2，得sinBsinC＝12[1－cos(B＋C)]，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C)，即2sinBsinC＋cos(B＋C)＝1，变形得cosBcosC＋sinBsinC＝1，即cos(B－C)＝1，所以B＝C＝π6，B＝C＝5π6(舍去)，A＝π－(B＋C)＝2π3.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得b＝c＝asinBsinA＝23×1232＝2.故A＝2π3，B＝π6，b＝c＝2.19．(2009年高考四川卷)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且cos2A＝35，sinB＝1010.(1)求A＋B的值；(2)若a－b＝2－1，求a，b，c的值．解：(1)∵A、B为锐角，sinB＝1010，∴cosB＝1－sin2B＝31010.又cos2A＝1－2sin2A＝35，∴sinA＝55，cosA＝255，∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝π4.(2)由(1)知，C＝3π4，∴sinC＝22.由正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC得5a＝10b＝2c，即a＝2b，c＝5b.∵a－b＝2－1，∴2b－b＝2－1，∴b＝1.∴a＝2，c＝5.20．△ABC中，ab＝603，sinB＝sinC，△ABC的面积为153，求边b的长．解：由S＝12absinC得，153＝12×603×sinC，∴sinC＝12，∴∠C＝30°或150°.又sinB＝sinC，故∠B＝∠C.当∠C＝30°时，∠B＝30°，∠A＝120°.又∵ab＝603，asinA＝bsinB，∴b＝215.当∠C＝150°时，∠B＝150°(舍去)．故边b的长为215.