53第八章 演示文稿

1鲑鱼数量的变化问题2最优捕鱼策略（1996年全国大学生数学建模竞赛A题）海洋中鱼的数量通常是按繁殖期的长短呈周期变化的。以太平洋里的鲑鱼为例，其生长繁殖过程大致是，成年的鲑鱼产下大量的卵，在卵成长为幼鱼和幼鱼长大的过程中，相当大的部分被成年的鱼吃掉，剩下来的还要被恶劣的环境淘汰一些，而成年的鱼在产卵后则活不了多久就会死掉。一问题的提出试建立鲑鱼产卵期到来之前，其数量变化规律的数学模型。鲑鱼数量的变化问题二生长特点1呈周期性变化；2在每个周期里，经过了从卵、幼鱼到成年鱼的变化过程。一般地，长期观察是呈离散变化，而在每个离散时间段里呈连续变化。如：树木的生长、冰箱温度的变化等，嵌入式模型嵌入式模型它把一个个短期内描述连续变化过程的微分方程，嵌入到一个长期的描述离散变化规律的差分方程中，而那些描述短期演变过程的微分方程在定性上应该是相同的，只是在定量上参数与初始条件有所改变。三符号的说明：第n个繁殖期（周期）开始时成年鲑鱼（鲑鱼）的数量，以条数计，n=1,2,…；：在每个周期内，时刻t幼鱼的数量；为了反映每个周期末和下个周期开始时的突变性，引入下列记号：nx)(ty,,,11ntntntttnbaba可以很小。在区间1],[],,[nttnba内允许数量上的突变四模型的假设1naxty与)(成正比，比例系数为，表示每条鱼的产卵量；2单位时间内减少的比例与成正比，比例系数为，表示鲑鱼吞食幼鱼的能力；)(tynx3)(bntyx与1成正比，比例系数为，表示在繁殖期末幼鱼存活长成鲑鱼的比例。五模型建立根据假设条件容易写出naxty1ntttnxyyban，bntyx1（1）（2）（3）方程（2）的解为anttxaetyty（4）将（1），（4）代入（3）式得,,,n,exxnabxttnn2101（5）若记abttb,a（6）则方程（5）可写作,,,n,eaxxnbxnn2101（7）差分方程（7）是将每周期内的微分方程（2）嵌入（1）、（3）得到的。这种嵌入式模型的一般形式可以表为bnnatyhxygtyxfty11ntttnba（8）差分方程（7）无法求出nx的显式表达式，只能递推求数值解。例如设11005x,（表示1个数量单位，比如810条），第1代（）0n鲑鱼吞食掉90%的幼鱼即10.tytyab，代入（4），（6）是可以算出321010.lnttb,e.abttab若分别取444105110111050.,.,.，则由（6）式15115,,a将0x,b,a代入（7）式递推计算nx，考察鲑鱼数量的周期变化规律，结果见表。01.0001.0001.000110.69791.7391.88410.5001.1001.500120.69960.34880.369120.79060.96110.7115130.69861.7192.36730.64021.1562.074140.69920.36140.152640.73290.88760.2625150.69881.7301.61150.67781.2652.151160.69910.35450.591960.71170.75620.2278170.69891.7242.27270.69121.4582.022180.69900.35810.182180.70370.55840.2882190.69891.7271.79690.69611.6982.226200.69900.35620.4308100.70070.37440.1983211.7252.396n5an5a11a15a11a15a220.35720.1443320.35680.4531231.7261.552331.7262.394240.35670.6526340.35680.1449251.7262.178351.7261.557260.35690.2167360.35680.6481271.7261.973371.7262.186280.35680.3147380.35680.2137291.7262.287391.7261.960300.35690.1771400.35680.3225311.7261.676n11an11a15a15a按（7）式（b=2.3和不同的a）计算的nx由表可知，对于nxa5，趋向稳态值0.699，即初值的70%；对于nxa11，交替地趋向两个稳态值0.3568和1.726，对于15a则难以看出什么规律。六平衡点及稳定性分析为了研究对于不同的a，鲑鱼数量nx的变化规律，我们利用差分方程求解的有关结果讨论（7）的平衡点及稳定性。方程（7）的平衡点*x满足*bx**eaxx（9）注：0*x也是方程（7）的平衡点，但容易验证它不是稳定的1a，不再讨论，以后平衡点均指非零的。（9）的非零解为balnx*（10）平衡点稳定的条件是,xf*1这里*bx**eaxxf因为alnbxaexf*bx**11所以当aln11，即38972.ea时*x是稳定平衡点，而当2ea时*x不稳定。这个结果表明，nx是否稳定只取决于，a与b无关。而a，注意到和的含义可知a表示的是鲑鱼从一个周期到下一周期增长关系的一个因素（增长率还与有关），正是这因素决定了的稳定状态情况。bnx根据上述分析，当5a时，*x稳定，且若3210.lnb由（10）可得6990.x*，而当1511，a时*x不稳定这与前面的数值结果（见表）是一致的。为了进一步研究3897.a（如）11a时nx的变化情况，应该考察方程（参考倍周期收敛的相关内容）nnnxfxfx212（11）其中f的具体形式由方程（7）给出。首先用无量纲化方法简化方程，令alnbxznn（12）则方程化为（7）化为nznnezz11（13）aln（14）显然，当2时1*z是方程（13）的稳定平衡点，而2时1*z不稳定。下面讨论2的情况。考察方程nnnzgzgz212（15）其中g由（13）给定。方程（15）的平衡点除1*z以外还有*z1和*z2，满足*z**ezz2121和*z**ezz1112（16）由（16）不难得到221**zz（17）于是**z,z21是方程wwew21（18）的两个根。若记函数wwewh1（19）则曲线whW和直线wW2有3个交点，其横坐标是*z1，1和*z2（见图）。当11a时3982.aln用数值方法可以算出657313427021.z.z**，（20）**z,z21是方程（15）稳定平衡点的条件是1212**z,zzzgWO1*z1*z222whW经过比较精密的计算得到，当526522.（21）时上述条件成立。这个结果表明，在条件（21）下方程（13）给出的序列是2倍周期稳定的，即子序列和当nzkz212kzk时分别趋向于*z1和*z2代回到变量nx，由（14）式可知条件（21）相当于51123897.a.（22）所以当11a时nx是2倍周期稳定的，两个稳定值*x1*x2和可以从（由（12）式）*,*,zbalnx2121（23）和（20）式算出。当3210.lnb时725913569021.x.x**，与表中结果一致。当52652.以后应该研究nz的k2倍周期稳定的情况,,k32。若记k是k2倍周期稳定的上限，有结果指出时，69242.k，当69242.时nz的趋势出现混沌现象。表中的15a相当于712.，所以nx的变化没有什么规律性可言。评注：嵌入式模型适用于将各个周期内用微分方程描述的、性质上相同的连续变化规律，嵌入到长期的用差分方程描述的离散变化过程的问题。除了生物的周期性繁殖现象外，再生资源的周期性收获，人体对周期性注入药物的反应，周期性排放污物的环境变化等都可以用这种模型研究。我们在这里遇到了序列nx的k2倍周期收敛现象,,,k210，因为方程（13）的非线性程度更高，所以，对平衡点收敛性分析更为困难。数学建模竞赛选讲面向全国大学生的群众性科技活动全国大学生数学建模竞赛国家教委高教司中国工业与应用数学学会目的激励学生学习数学的积极性；提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力；鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识；推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。培养学生解决实际问题的综合能力。1）“双向翻译”能力2）运用数学思想进行综合分析能力3）结合其他专业特别是应用计算机解决问题的能力4）观察力和想象力5）提高撰写科研论文的能力6）团结协作的精神kxdtdx分离变量的方程kdtxdxdtkxdxCktxlnktCetx)(00xx)(ktextx0)(元素的放射性人口问题种群问题经济增长问题马尔萨斯(Malthus)模型最优捕鱼策略（1996年全国大学生数学建模竞赛A题）为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业）的开发必须适度。一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。考虑对某种鱼（鳀鱼）的最有捕捞策略：鳀鱼：体长三寸到四寸，侧扁，腹部呈圆柱形，眼、口大，无侧线，生活在海中。假设这种鱼分4个年龄组，称1龄鱼，…，4龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（克），各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（1/年），这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条4龄鱼的产卵量为1.109×105(个)，3龄鱼的产卵量为这个数的一半，2龄鱼和1龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后4个月，卵孵化并成活为1龄鱼，成活率（1龄鱼条数与产卵量n之比）为1.22×1011/(1.22×1011+n）。渔业管理部门规定，每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群的条数成正比，比例系数不妨称为捕捞强度系数。通常使用13mm网眼的拉网，这种网只能捕捞3龄鱼和4龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。1）建立数学模型分析如何实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总量）。2）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏。已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为122，29.7，10.1，3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高。一问题的分析1、给出了各年龄组鱼群的转化规律；ttNtNttN)()()(0,tNdtdN2、给出了它们的相对自然死亡率；1龄鱼2龄鱼3龄鱼4龄鱼收获1，2，3季度捕获产卵第4季度自然死亡每条3龄鱼产卵量为(个)3、给出了鱼产卵的时间分布；只有3、4龄鱼在每年的9、10、11、12月份集中产卵。并给出3、4龄鱼产卵的数量关系：在一个季节里，每条4龄鱼产卵量为(个)5101091.510109121.成活率（1龄鱼条数与产卵总量n之比）).(.n111110221102214、并固定每年投入的捕捞能力（如渔船数，下网次数）及3、4龄鱼捕捞强度系数的比值。捕捞强度系数k：单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比。kNdtdN目标：要求选择一定的捕捞强度系数，使得各年龄组鱼量