状态变量分析法

第十二章状态变量法◆输入输出法和状态变量分析法；◆状态变量、状态方程的概念；◆状态方程的建立；◆用拉普拉斯变换法求解状态方程；◆连续系统状态方程与输出方程的时域解法；◆系统的可控制性与可观测性12.1基本概念与定义一、输入－输出法（端口法）研究单输入－单输出系统；着眼于系统的外部特性；基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的概念。二、状态变量分析法产生于20世纪50至60年代；卡尔曼(R.E.Kalman)引入；利用状态变量描述系统的内部特性；运用于多输入－多输出系统；用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统◆状态变量分析法优点(1)提供了系统的内部特性以供研究；(2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行数值计算；(3)便于分析多输入－多输出系统；(4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。三、基本概念与定义1、状态变量对于动态系统，在任意时刻，都能与激励一起确定系统全部响应的一组独立完备的变量，称为系统的状态变量。)(2tyL)(1tf)(2tfa)(1tyI2R1.9图C)(2tx)(1tx)19()()()()()()()()(22211111111tftxtytfRtxRRtxtftyx1(t),x2(t)符合状态变量的定义，所以它们是一组独立完备的状态变量。该方程称为该电路的输出方程。2、状态向量则此列矩阵x(t)即称为n维状态向量，简称状态向量。Tntxtxtxtxtxtxtx)()()()()()()(213213、状态与初始状态状态变量在某一时刻t0的值，称为系统在t0时刻的状态。状态变量在t=0-时刻的值称为系统的初始状态或起始状态。X(0-)也称为初始状态向量或起始状态向量。4、状态方程从已知的激励与初始状态，求状态向量的一阶向量微分方程，称为状态方程。)(2tyL)(1tf)(2tfa)(1tyI2R1.9图C)(2tx)(1tx)29()(1)(1)(1)()()(1)()(222212112111tfCRtxCRtxCdttdxtfLRtxLtxLRdttdx)()()()()(1111211tfRtxRtxtydttdxL-x2(t))(1)(1)()(1)()(222212211tfRtxRtxtyRtxdttdxC2特点：方程左端都是一个状态变量的一阶导数;而方程右端则为各状态变量与各激励的线性组合。矩阵形式:)()(100)()(111)()(2121212121tftfCRLRtxtxCRCLLRtxtx一阶向量微分方程的形式:)39()()()(tBftAxtxA常称为系统矩阵;B常称为控制矩阵。1()ft2()ft2()yt1()yt()jft()mft()ryt()iyt1()xt2()xt()nxt9.2图5、输出方程)19()()()()()()()()(22211111111tftxtytfRtxRRtxtfty写成矩阵形式为)()(100)()(100)()(21121121tftfRtxtxRtyyy)49()()()(tDftCxty＋称为输出方程C常称为输出矩阵。状态方程与输出方程，共同构成了描述系统特性的完整方程(即数学模型)，统称为系统方程。6、状态变量法以系统的状态方程与输出方程为研究对象，对系统特性进行系统分析的方法，称为状态变量法。一般步骤：(1)选择系统的状态变量。(2)列写系统的状态方程。(3)求解状态方程，以得到状态向量。(4)列写系统的输出方程。(5)将第(3)步求得的状态向量及已知的激励向量，代入第(4)步所列出的输出方程中，即得所求响应向量。12.2连续时间系统状态方程的建立与求解一、由电路图直观列写)(1tuC)(2tuC2C3C1C)(3tuC)(a2C1C)(tu)(1tuC)(2tuC)(b1()it2()it3()it2L1L3L()c1()it2()it2L1L()it()d9.3图网络状态方程的直观列写方法，一般步骤：(1)选取电路中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。(2)必须对每一个独立电容列写出只含此独立电容电压一阶导数在内的节点KCL方程；对每一个独立电感列写出只含此独立电感电流一阶导数在内的回路KVL方程。(3)非状态变量也用激励和状态变量表示出来，然后整理成式所示的矩阵标准形式。〔例12.2.1〕列写出图所示电路的状态方程。若以电压y1(t)，电流y2(t)为响应，再列写出输出方程。1C)(1tx)(2tx2Cab1()ft2()ft2()yt1()yt3()xtLc2()it9.5图解:(1)列写状态方程：2211112111)()()()()()()(RtxtxRtxtftitidttdxC)(1)(1)()11(1122121tfRtxRtxRR=)()()()()()()()(2221322322tfRtxtxtxtftitxdttdxC)()()(1)(1232212tftxtxRtxR＝)()(23txdttdxL)()(001001)()()(01011101)11()()()(2121132122222121211321tftfCCRtxtxtxLCCRCRCRCRCRtxtxtx(2)列写输出方程：)()()(111tftxty)()()(1)(1)()(232212222tftxtxRtxRdttdxCty)()(1001)()()(111001)()(213212221tftftxtxtxRRtyty二、单输入单输出系统状态方程与输出方程的列写()ft()yts9.7图设系统为三阶的，即n=3)。该系统的系统函数(取)为01223012233)(asasasbsbsbsbsH设H(s)的分子与分母无公因式相消，则可根据系统的微分方程或画出其模拟图或信号流图，然后选取每一个积分器的输出变量作为状态变量，即可列出系统的状态方程与输出方程。直接模拟——相变量法选取每一个积分器的输出变量x1(t),x2(t),x3(t)作为状态变量)(tf)(a1x2x3x2x3x0b1b2b3b2a1a0a)(ty)(sF)(sY1s1s111s1x2x3x1x2x3x0b1b2b3b2a1a0a)(b9.8图)()()()(3221txtxtxtx)()()()()(3221103tftxatxatxatx)(100)()()(100010)()()(321210321tftxtxtxaaatxtxtx系统的输出方程：)()()()()(33322110txbtxbtxbtxbty)()()()()()()()()()()()()()(33232213110303211103322110tfbtxabbtxabbtxabbtftxatxatxabtxbtxbtxb)())()()(3321232131030tfbtxtxtxabbabbabbty3232131030210100,100010babbabbabbaaaDCBA但应注意A，B矩阵仍不改变。并联模拟：系统矩阵A为一对角阵，其对角线上的元素即为系统函数的极点；控制矩阵B则为元素值均为1的列矩阵；输出矩阵C则为行矩阵，其元素值从左到右，依次为的部分分式的系数。级联模拟：系统矩阵A为一上三角矩阵，其对角线上的元素即为H(S)的极点，且其排列顺序正好与各子系统级联的顺序相反。〔例12.2.2〕列写出图所示系统的状态方程与输出方程。11.9图21s101s11s)(sF)(sY)(sW)(1sX)(2sX)(3sX由框图列写状态与输出方程由系统的框图列写状态方程与输出方程，一般是选取一阶子系统的输出信号作为状态变量。)(21)(2sWssX)()(2)(22sWsXssX)()()(2)()(2)(3222tftxtxttxtx故)(105)(21sXssX)(5)(10)(211txtxtx故)(11)(13sXssX)()()(313txtxtx故)(010)()()(1011200510)()()(321321tftxtxtxtxtxtx系统的输出方程为：)()(1txty)()()(001)(321txtxtxty三、多输入多输出系统状态方程与输出方程的列写12.9图11s1s)(1tf)(2tf22234833)(2ty)(1ty1x1x2x2x)(3)(2)(3)()(3)(2)(2)(21222111tftftxtxtftftxtx)()(3232)()(3002)()(212121tftftxtxtxtx系统的输出方程为：)(8)(4)(8)()()(4)(2121211txtxtxtytytxty)()(8404)()(2121txtxtyty0000,8404,3232,3002DCBA四、连续系统状态方程与输出方程的s域解法1、状态方程的s域解法)()()0()(ssssBFAXXxBFxXA-I)((s)s0I为与A同阶的单位矩阵零状态解零输入解)()()0()()()()0()()(1sssssssBFΦxΦBFAIxAIX)()()(sssfxXXX或zizszizs)()()0()()(1ssLttBFΦxx2、输出方程的s域解法与转移函数矩阵H(s)zizszizszizs3、矩阵A的特征值与系统的自然频率AIDAIBAICDBAIAICDBAICHsssadjssadjss)()()()(1〔例12.2.3〕已知系统的状态方程与输出方程为)(1)()(121)()(01)()(3101)()(212121tftxtxtytftxtxtxtx)()()()()()()()()()()()(ty4s3t2t1210x0xtUtf21求全响应；求；求；求。，初始状态系统的激励发Hx)()()()()()()()()()()()(ty4s3t2t1210x0xtUtf21求全响应；求；求；求。，初始状态系统的激励发Hx1130011001s)s(