线性代数-矩阵基本概念

111213121222333132333123nnnmmmmnaaaaaaaaaaaaaaaa1、某班级同学早餐情况这个数表反映了学生的早餐情况.姓名馒头包子鸡蛋稀饭A4221B0000C4986422100004986为了方便，常用下面的数表表示一、矩阵的引入2、某公交公司在A,B,C,D四校之间的运营路线图其中√表示有公交.为了便于计算,把表中的√改成１,空白地方填上０,就得到一个数表:武大华科华师华农这个数表反映了四校之间的交通联接情况.为了方便，常用下面的数表表示0111111100000000华师华科武大华农发站华师华科武大华农到站011010101001010011112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb3、线性方程组的解取决于,1,2,,(),ijaijnm系数1,2,,ibim常数项11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab线性方程组的系数与常数项按原位置可排为对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.二、矩阵的定义定义()ijmnAa）排成的行列的矩形数表，称为数域mn由数域中的个数（nmijaF1,2,,;im1,2,,jn记作：111212122211nnmmmnaaaaaaAaaamnA()ija元素行标列标ija称为矩阵的元.A(,)ij中的一个矩阵.mnF元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.注：１、只有一行的矩阵称为行矩阵,只有一列的矩阵称为列矩阵.２、３、行数与列数均为n的矩阵称为n阶方阵,４、若，且，(),()ijmnijstAaBb,msnt称两矩阵同型.５、称为方阵的行列式.A若，且，(),()ijmnijmnAaBbijijab称两矩阵相等(A=B).６、例如34695301实矩阵421362222222i4219532矩阵（行矩阵）414矩阵（１阶方阵）11矩阵13（列矩阵）33复矩阵３阶方阵121121012322两矩阵同型113202113202两矩阵相等三、几种特殊的矩阵１、零矩阵mn个元素全为零的矩阵称为零矩阵.注意不同的零矩阵未必相等.记作或.OmnO２、对角矩阵主对角线以外的所有元素全为零的方阵称为对角阵.n00000021OO不全为0记作12,.,,ndiag３、单位矩阵主对角线上的所有元素全为1的对角阵称为单位阵.100010001OO全为1记作.IE或4、数量矩阵000000OO记作.I主对角线上的所有元素全为的对角阵称为数量阵.全为5、三角矩阵形如形如11121222nnnnaaaaaa11212212nnnnaaaaaa的矩阵称为上三角矩阵.的矩阵称为下三角矩阵.上三角矩阵与下三角矩阵统称为三角阵.记作.triaA6、负矩阵若1111nmmnaaAaa，则称1111nmmnaaaa为的负矩阵.A记作.A之间的关系式.,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay一个线性变换.四、矩阵与线性变换的关系1212,,,,,,nmnxxxmyyy个变量与个变量1212,,,,,,nmxxxyyy表示一个从变量到变量ija其中为常数..,,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxaymnmmnnaaaaaaaaaA112222111211线性变换的系数构成的矩阵称为系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为nnxyxyxy,,2211称之为恒等变换.nnxyxyxy,,2211对应100010001单位阵.线性变换11221232.5,2.52.yxxyxx对应32.52.52线性变换.cossin,sincos11yxyyxx对应cossinsincosXYOyxP,111,yxP这是一个以原点为中心旋转角的旋转变换.(cos,sin)Prr1(cos(),sin())Prr(1)矩阵的概念五、小结(2)特殊矩阵方阵;nm行矩阵与列矩阵；单位矩阵；对角矩阵；零矩阵..100010001,21naaaB,,,,21naaaAn00000021000000000000000020500107030550501矩阵与行列式的有何区别?思考题矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字,行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.解答