积分中值(函数平均值)

第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用【授课时数】【学习目标】1、会求变力沿直线所作的功、液体静压力；2、会用定积分求连续函数的平均值。【重、难点】重点：用元素法求变力沿直线所作的功和液体的静压力，由定积分的元素法引出。难点：正确使用定积分的元素法求变力沿直线所作的功和液体的静压力，由实例讲解方法。总时数：2学时。第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用用元素法求一个量的一般步骤：1）选取一个积分变量，确定积分区间；2）在积分区间上任取一小区间，以直代曲，得所求量的微分元素（简称微元）；3）在积分区间上对微元求定积分，得所求量.这种方法通常叫做元素法（或微元法）．第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离s时，力F对物体所作的功为sFW.如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，那么就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想.一、变力沿直线所作的功第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用[例1]把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为r的地方，那么电场对它的作用力的大小为2rqkF（k是常数），当这个单位正电荷在电场中从ar处沿r轴移动到br处时，计算电场力F对它所作的功．第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用解取r为积分变量，roqab1r],,[ba积分区间是drr在[a,b]上任取小区间],[drrr,得功元素,2drrkqdw所求功为drrkqwba2barkq1.11bakq若要考虑将单位电荷移到无穷远处，则所须功为drrkqwa2arkq1.akq第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用点击图片任意处播放\暂停[例2]一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为3米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？解建立坐标系如图，xoxdxx取x为积分变量，]5,0[x5取任一小区间],[dxxx,第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用xoxdxx5这一薄层水的质量为dx23功元素为,32dxgxdwxdxw4501028.8502421082.8x610462.3(J)．即dxxdw233108.9xdxdw41082.8第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用解[例3]使宇宙飞船脱离地球引力的速度叫第二宇宙速度，计算第二宇宙速度.orRHMm与例1类似，克服地球引力把飞船从地面R处发发射到距地心H处需作的功drrGMmWHRH2HRGMm11使飞船脱离地球引力场，即相当于把飞船发射到无穷远处，所需作功HRGMmWH11limRGMm第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用orRHMm在地球表面地球对物体的引力就是重力发射宇宙飞船所作的功等于飞船飞行时的动能，有这就是第二宇宙速度．,2RGMmmg则有,RGMmmgR因而.mgRW221mvmgRgRv231063718.92)/(2.11skm即第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用由物理学知道，在水深为h处的压强为hp，这里是水的密度．若有一面积为A的平面薄板水平地放置在水深为h处，则该薄板一侧所受的水压力为ApF．如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强p不相等，那么平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用“微元法”思想．二、液体的压力第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用[例4]一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为R，水的密度为，计算桶的一端侧面上所受的压力．解在一端侧面建立坐标系如图，xo取x为积分变量，],,0[R积分区间是在积分区间上任取小区间],[dxxx，xdxx小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为.222dxxRxp第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用一端侧面的压力元素为dxxRxdF222一端侧面上所受的压力dxxRxFR2202)(22022xRdxRRRxR032232.323R第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用[例5]将直角边各为a及a2的直角三角形薄板垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边的边长与水面平行，且该边到水面的距离恰好等于该边的边长，求薄板一侧所受的压力．解建立坐标系如图所示，a2a2a直线AB的方程,323020aaaxayxoy)0,3(aA)2,2(aaB即xay26，x为积分变量以].3,2[aa积分区间是第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用面积元素,)26(dxxadAdxxaxdF)26(dxxaxFaa32)26(aaxax3232]323[a2a2axoy)0,3(aA)2,2(aaB],,[]3,2[dxxxaa上任取小区间在压力元素薄板一侧所受的压力.373a第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用实例：用某班所有学生身高的算术平均值来描述这个班学生身高的概貌.nyyyyn21算术平均值公式只适用于有限个数值问题：求气温在一昼夜间的平均温度（气温的变化是连续的）.入手点：连续函数在区间上的平均值.)(xf],[ba讨论方法：分割、求和、取极限.三、函数的平均值第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用（1）分割：把区间],[ba分成n等分,1210bxxxxxann每个小区间的长度;nabx设各分点处的函数值为nyyyy,,,,210函数在区间上的平均值近似为)(xf],[ba;1210nyyyyn每个小区间的长度趋于零.（2）求和：（3）取极限：第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用,lim1210nyyyyynn函数在区间上的平均值为)(xf],[banababyyyyynn1210limxniixxyab110lim1,)(lim1110niixxxfabbadxxfaby)(1连续函数的平均值公式区间长度yab)()()(fab第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用若函数)(xf在闭区间],[ba上连续，则在积分区间],[ba上至少存在一个点，使得dxxfba)())((abf.)(ba性质7（定积分中值定理）积分中值公式在区间],[ba上至少存在一个点，几何解释：xyoab)(f使得以区间],[ba为以曲线)(xfy底边，为曲边的曲边梯形的面积等于同一底边而高为)(f的一个矩形的面积。)(xfy第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用[例6]求函数332)(2xxxf在区间［1,4］上的平均值.解dxxxy)332(1414124123]32332[31xxx.219第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用[例7]求纯电阻电路中正弦交流电tIimsin在一个周期上功率的平均值（简称平均功率）.解设电阻为，R则电路中的电压为iRu,sintRIm功率uip,sin22tRIm一个周期区间],2,0[平均功率tdtRIpm2022sin12第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用tdtRIpm2022sin12)(sin22022ttdRIm)()2cos1(4202tdtRIm20222sin4ttRIm242RIm22RIm.2mmUI)(RIUmm结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一．第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用利用“微元法”思想求变力作功、水压力和连续函数平均值等物理问题．（注意熟悉相关的物理知识）小结第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用1．若一物体按规律3tcx作直线运动，媒质的阻力与速度的平方成正比，则物体由0x移至ax时，克服媒质阻力所作的功是.2．有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长610米和米，高为20米，较长的底边与水面相齐.闸门的一侧所受的水压力是.3．函数xexy2在2,0上的平均值是.练习题3732727akc（其为中k比例常数）)(104373.17N231e第三章一元函数积分学四川职业技术学院数学教研室课题十九定积分在物理上的应用【授课小结】通过本课题学习，学生应该达到：1．会求变力所作的功和液体的静压力；2．会求函数的平均值．【课后练习】P067习题3.8.