4弯曲强度

1《材料力学》刘加一§4-1弯曲的概念和实例§4-2平面弯曲梁的内力§4-3弯曲正应力§4-4弯曲剪应力§4-5梁的强度条件与合理强度设计§4-6弹塑性弯曲简介第四章弯曲强度2《材料力学》刘加一§4-1弯曲的概念和实例受力特点：变形特点：一、弯曲的概念杆件在垂直于其轴线的横向外力或外力偶作用下，其轴线将由直线弯成曲线，即产生弯曲变形以弯曲变形为主要变形的杆件称为梁。3《材料力学》刘加一对称弯曲（平面弯曲）：若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲线也在该平面内的弯曲。非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。FqFAFB纵向对称面§4-1弯曲的概念和实例4《材料力学》刘加一弯曲实例§4-1弯曲的概念和实例5《材料力学》刘加一一、受弯构件的简化梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。吊车大梁简化实例§4-2平面弯曲梁的内力6《材料力学》刘加一二、梁支座的简化a)滑动铰支座b)固定铰支座c)固定端RFRyFRxFRyFRxFRM§4-2平面弯曲梁的内力7《材料力学》刘加一三、载荷的简化(a)集中荷载F1集中力M集中力偶(b)分布荷载q(x)任意分布荷载q均布荷载§4-2平面弯曲梁的内力8《材料力学》刘加一静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。(a)悬臂梁(b)简支梁(c)外伸梁四、静定梁的基本形式超静定梁——仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。§4-2平面弯曲梁的内力9《材料力学》刘加一五、剪力和弯矩ASSAy0:0FFFFFxFMxFMMAAC0:0xAFSFMCFSFMBFCABSBSy0:0FFFFFFFFCBBA0:)0)MMFlxFaxMFlxFaxFx（（FlalFAFlaFB§4-2平面弯曲梁的内力10《材料力学》刘加一①剪力：平行于横截面的内力符号规定：凡使梁段产生顺时针方向转动趋势的剪力为正，反之为负MMMMFSFSFSFS②弯矩：绕截面转动的内力符号规定：凡使梁段弯曲呈上凹形的弯矩为正，反之为负剪力为正剪力为负弯矩为正弯矩为负§4-2平面弯曲梁的内力11《材料力学》刘加一例4-2-1如图所示的简支梁，试求1－1及C左右截面上的内力。解：1.求支座反力0,0()0,03yABABFFFFlMFFlF得FFFFBA31,322.求截面1－1上的内力FFFAD32SFaaFMAD32§4-2平面弯曲梁的内力12《材料力学》刘加一右左右左＝CCCCMMFF,SS同理,对于C左截面：FllFMFFFCAC9233232S＝左左对于C右截面：3SFFFFAC右FllFMAC923右在集中力作用处，左右截面上剪力发生突变，突变值为该集中力的大小；而弯矩保持不变。负号表示假设方向与实际方向相反。§4-2平面弯曲梁的内力13《材料力学》刘加一)0(kN29030kN1502335.460y的正误或校核求也可由BBABBAAABFFMFqFFFFFqFFM例4-2-2求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。2112m21.5mq=12kN/m3m1.5m1.5mF=8kNABFAFB解：1、求支反力§4-2平面弯曲梁的内力14《材料力学》刘加一mkN26)5.12(2kN7A1A1SFFMFFFmkN3025.15.15.1kN115.1B2B2SqFMFqF2、计算1-1截面的内力3、计算2-2截面的内力FBq=12kN/mS2F2MF=8kNFAS1F1M建议：求截面FS和M时，均按规定正向假设，这样求出的剪力为正号即表明该截面上的剪力为正的剪力，如为负号则表明为负的剪力。对于弯矩正负号也作同样判断。§4-2平面弯曲梁的内力15《材料力学》刘加一六、剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图)()(SSxMMxFF剪力、弯矩方程：剪力、弯矩图：剪力、弯矩方程的图形，横轴沿轴线方向表示截面的位置，纵轴为内力的大小。§4-2平面弯曲梁的内力16《材料力学》刘加一例4-2-3作图示悬臂梁AB的剪力图和弯矩图。FxxMFxF)()(S剪力、弯矩方程：xFSFFlMFlMFFmaxmaxS||||FlAB§4-2平面弯曲梁的内力习惯上剪力正值朝上，弯矩正值朝下17《材料力学》刘加一例4-2-4试画出如图示简支梁AB的剪力图和弯矩图。解：1.求支反力，由0,0yAFM得lFaFlFbFBA,2.列剪力、弯矩方程在AC段内，axlFbFxFAS0,)(1axxlFbxFxMA0,)(1在BC段内，lxalFaFxFB,)(2SlxaxllFaxlFxMB,)(2§4-2平面弯曲梁的内力18《材料力学》刘加一集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小；弯矩图上无突变，但斜率发生突变，折角点。在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。§4-2平面弯曲梁的内力19《材料力学》刘加一32/32ql32/32qlBAlFAYqFBY解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCxlxqxqlxFS02/＝lxqxqlxxM02/2/2＝FSxMx2/ql2/ql8/2ql例4-2-5简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。§4-2平面弯曲梁的内力20《材料力学》刘加一集中力作用处剪力图有突变，变化值等于集中力的大小;弯矩图上无突变，但斜率发生突变，弯矩图上为折角点。在某一段上若无载荷作用，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。在某一段上作用分布载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。且弯矩M最大值发生于FS=0处。在集中力偶作用处，弯矩图上发生突变，突变值为该集中力偶的大小而剪力图无改变。总结§4-2平面弯曲梁的内力21《材料力学》刘加一七、梁的平衡微分方程假设：规定q(x)向上为正，向下为负；yxMF1q(x)ABxdxdxO§4-2平面弯曲梁的内力22《材料力学》刘加一yxM1F1q(x)ABxdxq(x)dxO)(d)(d0)()(d)()(0SSSSxqxxFdxxqxFxFxFFy：)(d)(d0)(21)()()(d)(0S2SxFxxMdxxqdxxFxMxMxMMO：)(d)(d22xqxxM§4-2平面弯曲梁的内力sFssFdFMMdM23《材料力学》刘加一§4-2平面弯曲梁的内力Sd()()dMxFxx22d()()dMxqxxSd()()dFxqxx描述分布荷载集度q、剪力Fs和弯矩M之间存在的微分关系，称为梁的平衡微分方程24《材料力学》刘加一1．微分关系的几何意义：剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小；弯矩图上某点处的切线斜率等于该点剪力的大小。讨论微分关系的几何意义§4-2平面弯曲梁的内力Sd()()dMxFxxSd()()dFxqxx如果q=常数（均布荷载），其图形为水平线，剪力图为斜直线（一次曲线），其斜率正负取决于q的正负，弯矩图为二次曲线，其凹凸性取决于q的正负22d()()dMxqxx25《材料力学》刘加一例4-2-6外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的FS—M图。解：1、求支反力kN8.3kN2.7BAFF2、判断各段FS、M图形状：CA和DB段：q=0，FS图为水平线，M图为斜直线。AD段：q0，FS图为向下斜直线，M图为上凸抛物线。DABm1m4m1kN3kN/m2mkN6C3、先确定各分段点的FS、M值，用相应形状的线条连接。FS+__3(kN)4.23.8Ex=3.1mM(kN·m)3.81.4132.2_+FAFB§4-2平面弯曲梁的内力26《材料力学》刘加一一段梁上的外力情况剪力图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在截面的可能位置q0向下的均布荷载无荷载集中力FC集中力偶mC上凸的二次抛物线在FS=0的截面一般斜直线或在C处有突变在C处有尖角在剪力突变的截面在C处无变化C在C处有突变m在紧靠C的某一侧截面向右下倾斜的直线水平直线2．各种荷载下剪力图与弯矩图的形态：§4-2平面弯曲梁的内力27《材料力学》刘加一（-）（+）FAy＝0.89kNFFy＝1.11kNFBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11例4-2-7作图示梁的FS—M图。（-）（-）M（kN.m）1.3300.3301.665解：1、确定约束力§4-2平面弯曲梁的内力28《材料力学》刘加一解：1、确定约束力qaFqaFByAy4349＝＝,qaqBADa4aC例4-2-8作图示梁的FS—M图。（+）（-）（+）OFSxOMx4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qaFByFAy§4-2平面弯曲梁的内力29《材料力学》刘加一3．其它规律：①|M|max可能发生在剪力为零处、集中力作用处、集中力偶作用处；②q突变反向，剪力图有尖点，弯矩图有凸凹性反转拐点；③荷载图关于梁左右对称，则剪力图关于梁中点反对称，弯矩图左右对称；荷载图关于梁中点反对称，则剪力图左右对称，弯矩图关于梁中点反对称。§4-2平面弯曲梁的内力30《材料力学》刘加一§4-3弯曲正应力CD段剪力为零，弯矩为常量，该段梁的变形称为纯弯曲。AC、BD段梁的内力既有弯矩又有剪力，该段梁的变形称为横力弯曲。一、纯弯曲31《材料力学》刘加一梁的纯弯曲实验实验现象：横向线(ab）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，仍垂直于变形后的梁轴线。§4-3弯曲正应力32《材料力学》刘加一中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。假设①平面假设②纵向纤维承受轴向拉压力§4-3弯曲正应力33《材料力学》刘加一二、纯弯曲正应力MMm2n2sysLysyEO1O2a2'dxn2m2n1m1O曲率中心n2dxn1m1m2ya1ya2e1O1O2e2x中性层z中性轴y对称轴oa2a1ydqdldqxe2e1121212----dydaaaadddyyydxdxdaalqlqqq§4-3弯曲正应力1.变形几何关系34《材料力学》刘加一2.物理关系（胡克定律)-yEEs§4-3弯曲正应力MsminsmaxMsminsmax35《材料力学》刘加一00-NAyAzAFdAMzdAMydAMsssdAyz(中性轴)xzyOsdAM-0AAEdAydAs中性轴通过截面形心2-zAAEMydAydAMszEIM13.静力关系§4-3弯曲正应力36《材料力学》刘加一②梁的上、下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为：zcztIMyIMy2max1maxss，zzWMyIM)/(||maxmaxsmax/yIWzz—抗弯截面系数（抗弯模量）。4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)：①距中性层y处的应力-zMyIs§4-3弯曲正应力zMyIs37《材料力学》刘加一矩形截面：62/1223bhhIWbhIzzz5.三种典型截面对中性轴的惯性矩实心圆截面322/6434ddIWdIzzz截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆:)1(322/)1(644344aaDDIWDIzzz§4-3弯曲正应力38《材料力学》刘加一三、横力弯曲时的正应力弯曲正应力分布ZIMys弹性力学精确分析表明，当跨度